不等式

\(题目bds2021090901：已知a，b>1,则\frac{a^2+b^2}{\sqrt{ab-a-b+1}}的最小值为()\)
\(解 ：\)
\(原式=\frac{a^2+b^2}{\sqrt{ab-a-b+1}}\)
\(\quad =\frac{a^2+b^2}{\sqrt{a(b-1)-(b-1)}}\)
\(\quad =\frac{a^2+b^2}{\sqrt{(b-1)(a-1)}}\)
设m=b-1>0，n=a-1>0,则a=n+1,b=m+1,
\(原式=\frac{(n+1)^2+(m+1)^2}{\sqrt{mn}}\)
\(\quad\ge \frac{2(n+1)(m+1)}{\sqrt{mn}}\)
\(\quad=2(\frac{nm+n+m+1}{\sqrt{mn}})\)
\(\quad=2(\sqrt{mn}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{mn}})\)
\(\quad=2(\sqrt{mn}+\frac{1}{\sqrt{mn}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}})\)
\(\quad \ge 2(2+2)\)
\(\quad = 8\)
\(\quad 当m=n时，即：a=b=2时，原式取最小值8\)

\(题目bds2021091001:实数a，b，c满足\quad a^2+b^2+2c^2=1，求ab+c最小值\)
\(两种解法\)
\(解一：\)
\(设ab+c=k\)
\(a^2+b^2+2(k-ab)^2=1\)
\(a^2+b^2+2(k^2-2kab+a^2b^2)=1\)
\(a^2+b^2+2k^2-4kab+2a^2b^2=1\)
\(a^2+b^2+2k^2-4kab+2a^2b^2-1=0\)
合并关于a的同类项，得到：
\((1+2b^2)a^2-4kab+b^2+2k^2-1=0\)
\(\triangle=16k^2b^2-(4+8b^2)(b^2+2k^2-1)\ge0\)
\(上式展开得到：16k^2b-(-4b^2+8k^2-4+8b^4+16b^2k^2-8b^2)\ge0\)
\(化简得：k^2\ge -b^4+\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\)
\(k^2\ge -b^4+\frac{b}{2}+\frac{1}{2}\quad\quad\quad(1)\)
\(可以配方，或者直接用二次函数极值特性\)
\(k^2\ge -(b^4-\frac{b^2}{2}+\frac{1}{16})-(\frac{1}{4})^2)+\frac{1}{2}\)
\(k^2\ge -(b^2-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\)
\(k^2\ge -(b^2-\frac{1}{4})^2+\frac{9}{16}\)
\(k^2\ge \frac{9}{16}\)
\(-\frac{3}{4}\le k \le \frac{3}{4}\)
故ab+c最小值是\(-\frac{3}{4}\)
\(如果用二次函数的极值公式，对于(1)式，当d^2=-\frac{B}{-2A}时，\)
\(即：d^2=\frac{-\frac{1}{2}}{-2}时有最小值，代入运算即可\)
解法2：
设k=ab+c,则ab=k-c
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+b^2+2ab\)
\(\quad\quad=1-2c^2+2ab\)
\(\quad\quad=1-2c^2+2(k-c)\)
\(\quad\quad=-2c^2-2c+2k+1\)
\(左侧(a+b)^2 \ge 0,故右侧关于c的二次函数 \ge 0\)
\(右侧函数二次项系数为-2，故右式有最大值，且该最大值应\ge 0\)
\(当c=\frac{-B}{2A}时有最大值，即c=\frac{-(-2)}{2(-2)}=-\frac{1}{2}时有最大值，该最大值应 \ge 0\)
\(把c=-\frac{1}{2}代入右式，得到右式=\frac{3}{2}+2k \ge 0\)
\(即：k \ge -\frac{3}{4}\)
\(或右式的判别式应\ge 0,同理可得上式。\)
\(把c=-\frac{1}{2}代入a^2+b^2+2c^2=1\)
\(可得，当a=-\frac{1}{2},b=\frac{1}{2},c=-\frac{1}{2}，或者\)
\(\quad 当a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2},c=-\frac{1}{2}时，\)
\(ab+c有最小值-\frac{3}{4}\)