戴德金--连续性和无理数-第11页翻译

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$构成这本小册子的主题思想的那些想法，在1858年秋天，第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授，我第一次感到自己有义务把$
$既然加法已经定义，那么其他的基础运算就可以定义了。即，减、乘、除、乘方、根，对数，这样我们就到了对加减乘除等这些基本运算的$
$真正证明（如，\sqrt(2)\cdot\sqrt(3)=\sqrt(6)),据我所知，这些证明此前尚未建立。更复杂的运算定义会长的令人恐惧，虽然这些$
$定义都是其固有的，但是大部分是可以避免的。与之相关的一个非常有用的概念是区间，即，一个有理数组成的系统A具有下面的特点，如果$
$a和a’在A中，那么所有位于a和a'之间的有理数，都包含在A内。包含全部有理数的系统R和任何分割的两类都是区间。假设存在有理数$
$a_{1}<A内的所有数，存在有理数a_{2}>A内的所有数，那么A称为确定区间。可知，存在无穷多这样的a_{1}和a_{2}；整个域R被分为三部分,$
$A_{1},A,A_{2},有理数或无理数a_{1},a_{2}称为区间的下限和上限。下限a_{1}由产生第一类A_{1}的分割产生，上限由产生第二类A_{2}的分割，$称每个位于a_{1}和a_{2}之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数，都是B内的数，称A为B的一部分。\quad\quad 当我们试图把有理数的大量算术定理（如乘法结合律(a+b)c=ac+bc）应用于任意实数时，那些冗长的考虑就会冒出来。但是，实际并非如此。很容易看出，这些操作都简化为某种连续性的体现。上述讨论可以归纳为下面的通用定理:\quad\quad "若数字\lambda 是\alpha,\beta,\gamma等数字运算的结果，且\lambda位于区间L内，那么可以得到A，B，C等区间，分别包含数字\alpha,\beta,\gamma等数字，这样，这些数字的运算，转为区间的运算，运算结果是区间L中的一个数字"。如此笨拙的过程，让我们不得不寻找一个方法简化这些表达式。于是，无极变幅，函数，极限值，这些概念被引入。即使是最简单的算术运算最好也建立在这些概念之上，这里不再深入讨论。----end\quad of \quad page\quad 11----$