戴德金-连续性和无理数-第9页

\(---------------下面是原文第9页---------------\)
\(\quad\)
\(\quad\quad 如果我们再稍微仔细些研究\alpha>\beta 的情况，显然，小的这个数\beta 如果是有理数，那么必然属于A_{1},因为在A_{1}中\)
\(存在一个数a_{1}'=b_{2}'属于 B_{2},于是有，不管\beta是B_{1}的最大值还是B_{2}的最小值，都有\beta\le a_{1}',因此\beta属于A_{1}.\)
\(同理,很显然，由\alpha>\beta,可知\alpha属于B_{2},因为\alpha\geq a_{1}'。结合上述两点，可得下面结果，如果一个切割是由数\alpha产生，\)
\(那么任何一个有理数，如果小于\alpha的数，划分于A_{1}，否则划分于A_{2};如果\alpha是有理数，那么它自己可以随意划归于A_{1}或A_{2}\).
\(\quad\quad 最终，我们得到：若\alpha>\beta,即，如果有无穷多数，属于A_{1}，但是不属于B_{1},那么必然有无穷多数，既不同\)
\(于\alpha也不同于\beta;每个这样的数c都小于\alpha，因为它属于A_{1}；同时c>\beta,因为c属于B_{2}\)
\(\quad\quad\quad\quad V\)
\(\quad\quad\quad 实数域的连续性\)
\(作为前述特性产物，包含全体实数的系统R，建立了一个布局良好的一维域；这一切都是为了证明如下的结论：\)
\(I.若\alpha>\beta,且\beta>\gamma,则\alpha > \gamma .我们说\beta在\alpha和\gamma之间\)
\(II.若\alpha和\gamma是两个不同的数，那么此二数之间有无穷多数\beta存在；\)
\(III.若\alpha是任意一个有限数，那么实数域R被分成A_{1}和A_{2}两类，每个类都包含无数多数，第一类A_{1}包含所有小于\)
\(\alpha的数，第二类A_{2}包含所有大于\alpha的数，\alpha可以被任意归入任何一类，且相应成为A_{1}类的最大值或A_{2}类的最小值；\)
\(不管是上述哪一种情况，都会得到这样的结果：系统R被分成两类，第一类里的所有数，都小于第二类的所有数；并且我们说这个分割是\alpha产生的；\)
\(\quad\quad 为简洁起见，也为了避免让读者太累，我把前面用的那些定理的证明放在了后面。\)
\(\quad\quad 除了上述特性，域R还有连续性；即，下面的定理成立：\)
\(\quad IV.若包含全体实数的系统R被分成两部分A_{1}和A_{2},使得A_{1}中的所有数均小于和A_{2}中所有数，那么，\)
\(有且只有一个数能产生这样的分割；\)
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