戴德金---连续性和无理数的第8页翻译

戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第8页
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\quad\quad\quad\quad -----原文第8页------
第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类A_{1}和B_{1}进行比较，会有如下结果第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类A
1
​
和B
1
​
进行比较，会有如下结果
\quad1. 他们完全相同。即，每个包含于A_{1}的数，也包含于B_{1},且每一个属于B_{1}的数，1.他们完全相同。即，每个包含于A
1
​
的数，也包含于B
1
​
,且每一个属于B
1
​
的数，
也包含在A_{1}中。在这种情况下，A_{2}与B_{2}必然相同。因此，这两个分划(cut)，(A_{1},A_{2})和也包含在A
1
​
中。在这种情况下，A
2
​
与B
2
​
必然相同。因此，这两个分划(cut)，(A
1
​
,A
2
​
)和
(B_{1},B_{2})完美相同，我们用符号表示为\alpha=\beta或\beta=\alpha。(B
1
​
,B
2
​
)完美相同，我们用符号表示为α=β或β=α。
\quad\quad 但是，如果A_{1}与B_{1}不同，那么在一个类，例如，A_{1}但是，如果A
1
​
与B
1
​
不同，那么在一个类，例如，A
1
​
中，存在一个数a_{1}a
1
​
’=b_{2}b
2
​
'没有包
含在B_{1}中，则自然位于B_{2}中；于是，所有包含在B_{1}中的数b_{1}当然小于这个数含在B
1
​
中，则自然位于B
2
​
中；于是，所有包含在B
1
​
中的数b
1
​
当然小于这个数
a_{1}a
1
​
‘=b_{2}b
2
​
’，因此,所有B_{1}中的数b_{1}都包含于A_{1}中。B
1
​
中的数b
1
​
都包含于A
1
​
中。

\quad2.如果A_{1}中只有一个数a_{1}'是B_{1}所没有的，则A_{1}中所有其他数字a_{1}也被包含于B_{1}中，且2.如果A
1
​
中只有一个数a
1
′
​
是B
1
​
所没有的，则A
1
​
中所有其他数字a
1
​
也被包含于B
1
​
中，且
\quad\quad有a_{1}小于a_{1}',即，a_{1}'是A_{1}中的最大的一个数，于是这个分划(cut)(A_{1},A_{2})由有理数有a
1
​
小于a
1
′
​
,即，a
1
′
​
是A
1
​
中的最大的一个数，于是这个分划(cut)(A
1
​
,A
2
​
)由有理数
\quad\quad a=a_{1}a
1
​
’=b_{2}'产生。再看(B_{1},B{2})。我们已经知道B_{1}中的所有数b_{1}也都包含在A_{1}b
2
′
​
产生。再看(B
1
​
,B2)。我们已经知道B
1
​
中的所有数b
1
​
也都包含在A
1
​

\quad\quad中，且小于a_{1}'a
1
′
​
=b_{2}',b_{2}'，该数包含于B_{2}中；B_{2}中包含的其他数字b_{2}必然大于b_{2}'b
2
′
​
,b
2
′
​
，该数包含于B
2
​
中；B
2
​
中包含的其他数字b
2
​
必然大于b
2
′
​
，
\quad\quad否则b_{2}b
2
​
就会小于a_{1}'，从而包含于A_{1}和B_{1}；这样b_{2}'就是B_{2}中的最小数。于是，a
1
′
​
，从而包含于A
1
​
和B
1
​
；这样b
2
′
​
就是B
2
​
中的最小数。于是，
\quad\quad分划(B_{1},B_{2})也是由同一个有理数\betaβ=b_{2}b
2
​
’=a_{1}a
1
​
’=\alphaα产生。这两个分划仅
\quad\quad仅是非本质的不同；

\quad 3.如果在A_{1}中至少有两个数a_{1}'=b_{2}',a_{1}''3.如果在A
1
​
中至少有两个数a
1
′
​
=b
2
′
​
,a
1
′′
​
=b_{2}b
2
​
’’,不在B_{1}B
1
​
中，那么就有无数个这样的数存在。
\quad\quad因为在这两数之间存在无穷多的数，都在A_{1}中，却都不在B_{1}中。这种情况下，因为在这两数之间存在无穷多的数，都在A
1
​
中，却都不在B
1
​
中。这种情况下，
\quad\quad 我们说对应于两个本质上不同的分割(A_{1},{2})与(B_{1},B_{2})的两个数\alpha 和\beta 是不同的，我们说对应于两个本质上不同的分割(A
1
​
,2)与(B
1
​
,B
2
​
)的两个数α和β是不同的，
\quad\quad并且更进一步，我们说\alphaα>\betaβ，或者说\betaβ<\alphaα,需要注意的是，这个定义与前面当
\quad\quad \alpha和\betaα和β都是有理数时的定义完全一致。

剩下的可能出现的情况如下

\quad4.如果在B_{1}4.如果在B
1
​
中存在一个且只有一个b_{1}'b
1
′
​
=a_{1}'a
1
′
​
，不属于A_{1},那么(A_{1},A_{2})与(B_{1},B_{2})仅仅是不属于A
1
​
,那么(A
1
​
,A
2
​
)与(B
1
​
,B
2
​
)仅仅是
\quad\quad非本质性区别，并且都是由同一个有理数\alpha=a_{2}'=b_{1}'=\beta产生；α=a
2
′
​
=b
1
′
​
=β产生；

\quad 5. 但是，如果B_{1}中至少有两个数是A_{1}中没有的，那么\beta>\alpha,或\alpha<\beta;5.但是，如果B
1
​
中至少有两个数是A
1
​
中没有的，那么β>α,或α<β;

\quad上述讨论遍历了全部情况，可知，对于两个不同的数，其中一个或者大于另一个,或者小于另一
个，只有这两种情况出现，不存在第三种可能。这一点在指定\alpha和\beta的大小关系时个，只有这两种情况出现，不存在第三种可能。这一点在指定α和β的大小关系时
用到过，但是直到现在才给予了证明。在进行上述研究时，必须加倍小心，以防把其他领域的
概念，在根本不允许的情况下，照搬到其他领域中。

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