翻译戴德金--连续性和无理数--第7页

\(\quad\quad\quad\quad *****以下为原文第7页内容*****\)
\(构成这本小册子的主题思想的那些想法，在1858年秋天，第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授，我第一次感到自己有义务把\)
\(并且我们可以假设u是满足这个条件的最小正整数：其平方乘以D后，可以一个正数t的平方。因为显然\)
\(\quad\quad\quad \lambda u <t<(\lambda +1)u,\)
\(数字u'=t-\lambda u 是一个正整数，当然小于u。如果我们进一步设\)
\(\quad\quad\quad t'=Du-\lambda t,\)
\(t'同样是一个正整数，并且我们有\)
\(\quad\quad t'^2-Du=(\lambda^2-D)(t^2-Du^2)=0\)
\(这显然与我们对u的假设矛盾。\)
\(\quad\quad 这样，每个有理数x的平方或者<D,或者>D。由此可见，A1中无最大数，A2中无最小数。因为我们可以设\)
\(y=\frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D}\)
\(我们得到\)
\(y-x=\frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D}\)
\(并且\)
\(y^2-D=\frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2}\)
\(此时，如果x是属于A_{1}的正数,那么x^2<D,此时y>x,且y^2<D。则y属于A_{1}。但是，如果我们假设x属于A_{2},则有x^2>D,y>0,于是y<x,\)
\(y>0,且y^2>D。因此，y属于A_{2}。由此可见，这个分割是由非有理数产生的。\)
\(\quad 并非所有的分割都是由有理数产生这个事实，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的。\)
\(\quad\quad 只要我们遇到一个由非有理数产生的分割，我们就创造出了一个新的，一个无理数\alpha,我们认为其完全由分割cut(A1,A2)产生；\)
\(我们应该说这个新数\alpha 对应于这个分割，或者说它产生了这个分割。从现在开始，每一个确定的分割都对应于一个确定的有理数或无理数，\)
\(只要两个分割本质上不同，我们就说产生这两个分割的数不等。\)
\(\quad 为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由\alpha 和\beta 产生的两个分割\)
\((A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})中间的关系。显然，当分割(A_{1},A_{2})中的一个，例如A_{1}给定之后，这个分割就完全确定了，因为A_{2}\)
\(就是有理数去掉A_{1}后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a_{1}是第一类的元素，那么所有小于a_{1}的数，都包含在\)