戴德金分割第6页

$\quad\quad\quad *****以下为原文第6页*****$
$构成这本小册子的主题思想的那些想法，在1858年秋天，第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授，我第一次感到自己有义务把$
$\quad$
$直线是不连续的，直线的很多特性依然保持。即使直线不连续，我们也可以填上这些空隙，使得直线变为连续的；这个填充将通过创造新数$
$来完成，且符合上述的直线分割特性。$
IV.无理数的创造
$\quad\quad 从上述最后一句话可以非常明显地看出，非连续的有理数域R会如何被变成连续域。第一部分已经指出，每一个有理数a都能使$
$系统R（有理数域）产生一个分割，使得第一类A1内的每个数字a1，小于第二类A2内的所有点a2，a或者是第一类的最大值，或者是第二类的$
$最小值。如果任何一个把系统R分为两类的分割，其产生的第一类A1的每个数a1，都小于第二个类A2中的每个数a2，我们称这样的分割为cut，$
$表示为（A1，A2）。那么我们可以说，每个有理数a都能产生一个分割，或者说产生两个分割，这两种说法本质上都一样。这个分割同时还$
$具有这个特性：或者A1有最大值，或者A2有最小值。反之，如果一个cut具有上述特性，那么这个分割或者是由第一类的最大值产生，或者是$
$第二类的最小值产生。反之，如果一个分割具备这个特性，那么该分割是由这个最大值或最小值产生。$
$\quad\quad显然，同样存在无数个不是有理数产生的分割。下例为证。$
$\quad\quad设D是一个正整数，且不是一个完全平方数，那么存在正整数λ，有：$
$\quad\quad\lambda^2<D<(\lambda+1)^2$
$如果我们指定每个平方数大于D的正有理数a2属于A2类，其他全部有理数a1划入A1类，这样的划分，显然构成了分割（A1，A2),即每个数a1$
$都小于每个数a2,因为如果a1=0，或者是负数，那么显然a1小于任何一个a2，因为根据定义，A2中的最后一个数是正数；如果a1是正数，那$
$么其平方数\leq D，因此，a1小于任何一个平方数>D的正数a2。$
$\quad\quad但是，这个分割不是由有理数产生的。为证明这一点，必须先证明不存在有理数，其平方和是D。尽管用初等数论可以轻松证明$
$这一点，但是下面的这个间接证明也有意义。下面用反证法证明。假设存在一个有理数，其平方为D，那么存在正数两个正数t,u,他们满足等式$
$\quad\quad t^2-Du^2=0,$