戴德金-“连续性和无理数”论文翻译第12页-13页(最后一页)

$\quad\quad VII.\quad INFINITESIMAL\quad ANALYSIS$
$这里，在结尾之际，我们应该解释一下前面的那些探讨和无穷小分析理论之间的关系。$
$\quad\quad 我们说一个无级变幅x通过连续确定数值靠近一个固定值\alpha，就是指x最终会和\alpha$
$共同处于某两个数之间，或者，x积累到与\alpha 共同位于这两数之间，此时|\alpha-x|小于任意事先给定的非零正数。$
$\quad 一个重要的定理是这样说的：如果一个变数x持续增长，但是不会超过所有的限制，那么它必然趋近一个极限值。$
$\quad\quad 我用下面的方式来证明上述结论。假设存在一个，则必然有无穷多个数\alpha2，使得x始终<\alpha2$
$我把所有这样的\alpha2划归于\delta2系统；其他的数\alpha1划归\delta1系统$
$后者，即\delta1，其中的每个数字，都有这样的特性:在x的变化过程中，x最终会\geq\alpha1,这样每个\alpha1$
$都小于\alpha2,则存在一个数\alpha,它或者是\delta1中的最大数，或者是\delta2中的最小数；前者的情况不可能出现，$
$因为x一直在增长(我注：如果\delta1里有最小值a，根据\delta1的定义,x最终会>a,则a显然不是最小值，另，这里的证明不适用于$
$lim(-\frac{1}{n})^n,因为根据前述，该证明是在证明单向递增的情况)，所以，\alpha 是\delta2中的最小值。不管\alpha1取何值，$
$最终都有\alpha1<x<\alpha,即，x趋近\alpha.$
$\quad\quad 这个定理等价于连续法则，即，一旦我们假设一个数字不在域R中；或者表述为，如果这个定理正确，那么V中的定理IV也正确。$
$\quad\quad 另一个分析无穷小的定理，与上述定理类似，也经常被用到，陈述如下：在x的变化中，若对于每个事先给定的正数\delta,$
$我们都能找到一个与之对应的位置，从这个位置之后，x的变动都会小于\delta, 那么x趋近一个极限值。$
$\quad\quad 如果一个变量趋近某个极限，则最终该变量的变化会小于任何给定正数，这个原理可以从前面的定理轻松导出，也可以从连续性$
$定理导出。我下面就用连续性定理来导出。设\delta是任意正数，则根据假设，存在一个时间点，在其之后，x的改变将小于\delta,即：$
$如果此时的x=a，则a-\delta<x<a+\delta。现在，我暂时不用原始的假设，而是使用已经被刚刚证明的定理$
$，即，所有后续的x的值，都讲位于事先给定的两数之间。在此基础上，我对实数做两组分割。对于系统\delta1,其中的数\alpha2（例如,a+\delta）,在x$
$的变化中，均>x;系统\delta1,包含除\delta2以外的其他数。如果\alpha1是这样的数，那么不管这个过程进行了多久，都会发生无数次$
$x>\alpha2(怀疑原文写错了，应为\alpha1),既然每个\alpha1<\alpha2,那么必然存在一个确定的数\alpha产生了实数系统R的这个分割（\delta1,\delta2）,我称这个\alpha为$
$x的上限，它总是有限的。类似的方式，作为变量x的结果，系统R的第二个分割产生了。数字\beta2(例如,a-\delta)分配给B2，在x最终变得比$
$\beta大的过程中，；每个其他的\beta2，分配给B2的这些\beta2,有这样的特性：x永远不会最终大于这些\beta2；因此，有无穷多次x小于\beta2,$
$产生这个分割的\beta我称之为x的下限值。\alpha和\beta 有这样的特征：若\epsilon是任意小的正数，最终会有x<\alpha+\epsilon和x>\alpha-\epsilon$
$而不会发生最终x<\alpha-\epsilon和x>\alpha+\epsilon。这样就只有两种可能，若\alpha和\beta是两个不相同的数，那么只能是\alpha>\beta,$
$因为\alha2持续>\beta2;变量x会左右摇摆，不管这个过程如何进行，最终会出现x的变动值超过(\alpha-\beta)-2\epsilon。这与我一开始的假设矛盾。$
$这样就只剩下最后一种情况，\alpha=\beta，而且我们已经发现，不管任意指定的\epsilon多么小，我们最终总能得到x<\alha+\epsilon和x>\beta-\epsilon$
$x靠近极限值\alpha。证毕。$
$\quad\quad 这些例子足以表明连续性法则和无穷小分析之间的联系。$