戴德金论文第10页-

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\(构成这本小册子的主题思想的那些想法，在1858年秋天，第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授，我第一次感到自己有义务把\)
\(\quad 证明：在把实数域R分割成两个部分\triangle_{1}和\triangle_{2}的同时，有理数域也被分成了两部分A_{1}和A_{2}，这个有理数域的分割定义是：A_{1}\)
\(了所有\triangle_{1}中的有理数，A_{2}包含了所有\triangle_{2}中的有理数。假设\alpha是产生(A_{1},A_{2})的数，若\beta是一个异于\alpha的数，那么\)
\(\alpha和\beta中间存在无穷多有理数c。若\beta<\alpha,则c<\alpha；这样c属于A_{1},自然属于\triangle_{1},与此同时,\beta<c,所以\beta也属\)
\(于A_{1}。若\beta>\alpha,则c>\alpha,这样c属于A2,因此c也属于\triangle_{2},故，由于c<\beta,所以\beta也属于\triangle_{2}。这样，每个异于\alpha\)
\(的数\beta或者属于类\triangle_{1}或者属于类\triangle_{2},取决于\beta > \alpha还是\beta < \alpha;于是\alpha或者是\triangle_{1}中的最大值，或者是\)
\(\triangle_{2}中的最小值，即\alpha 是一个且是唯一一个产生分割(\triangle_{1},\triangle_{2})的数。证毕。\)
\(\quad\quad IV\quad实数的四则运算\)
\(\quad\quad 要把实数的任意操作简化为有理数的操作，只需通过\alpha和\beta 生成的类(A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})定义分割(C_{1},C_{2}),\)
\(该分割对应于\gamma。本文只讨论最简单的加法操作.\)
\(\quad\quad 设c是任意有理数，如果在A_{1}中存在a_{1}，B_{1}中存在b_{1},有c\leq a_{1}+b_{1}，那么c属于C_{1}类，其他有理数\)
\(归于C_{2}。这样的分组C_{1},C_{2}，显然构成了一个分割,以为每一个C_{1}中的数c_{1}，都小于C_{2}中的数c_{2}。若\alpha和\beta都是有理数，\)
\(那么包含于C_{1}中的每个数c_{1}都\leq \alpha+\beta,这是因为a_{1}\leq \alpha,b_{1}\leq \beta,进而a_{1}+b_{1}\leq \alpha+\beta\)
\(更近一步，假设C_{2}中包含c_{2},有c_{2}<\alpha+\beta,于是有\alpha+\beta=c_{2}+p,这里p是正有理数，那么有\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad c_{2}=(\alpha-\frac{1}{2}p)+(\beta-\frac{1}{2}p)\)
\(与c_{2}定义矛盾，因为\alpha-\frac{1}{2}p属于A_{1}，\beta-\frac{1}{2}p属于B_{1}。由此可见，C_{2}中的每个数c_{2}都有\)
\(c_{2}\geq \alpha+\beta。这样，我们把实数\alpha+\beta的和理解为产生分割(C_{1},C_{2})的数字\gamma,就不会违法有理数中的加法。\)
\(进一步考虑，如果\alpha和\beta中只有一个有理数，例如，\alpha是有理数，\beta是无理数，易见，不管\alpha属于A_{1}还是A_{2}，\)
\(和依然是\gamma=\alpha+\beta，没有任何不同。\)
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\(\quad\quad 加法的定义完成之后，其他的运算，诸如减法，乘除，求根，等等，就都已确定，继续走下去，我们就碰到了这个定理的真正证明(如，\)
\(\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}),这个证明据我所知，此前尚未有过。这些操作的定义都是本质性的，而且非常繁琐冗长，令人生畏，\)
\(但是大部分是可以省略的。与之有关联的一个概念，就是“区间”。即，一个有理数系统A有如下特征：若a和a'属于A，\)
\(那么a和a'中间的数，都属于A。实数系统R和实数上的所有分割对，都是区间（我注，都是无穷区间）。\)
\(如果a小于A中所有数， a'大于A中所有数，那么A叫做有限区间（我注：而且是开区间）\)