戴德金第7页-9页

$y=\frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D}$
$我们得到$
$y-x=\frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D}$
$并且$
$y^2-D=\frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2}$
$此时，如果x属于A_{1},那么x^2<D,此时y>x,且y^2<D。则y属于A_{1}$
$如果假定x属于A_{2},则有x^2>D,y>0,y<x,且y^2>D。显然，y属于A_{2}$
$这个分割是有非有理数产生$
$\quad 这个现象，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的$
$\quad 每一个这样的分割，都对应于一个非有理数,由此就产生了一个新数，即无理数\alpha$
$我们认为该数完全由该分割产生。我们应该说这个新数\alpha 对应于这个分割，或者说它制造了这个分割,$
$并且，从现在开始，只要两个分割不同，我们就说产生这两个分割的数不等。$
$\quad 为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由\alpha 和\beta 产生的两个分割$
$(A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})中间的关系。显然，当分割(A_{1},A_{2})中的一个，例如A_{1}给定之后，这个分割就完全确定了，$
$因为A_{2}就是有理数去掉A_{1}后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a_{1}是第一类的元素，那么所有小于a_{1}的$
$数，都包含在第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类进行比较，会有如下结果$
$\quad 1. 他们完全相同。即，任何一个属于A_{1}的元素，也属于B_{1},且每一个属于B_{2}的元素，也同样属于A_{1}$
$此时，A_{2}与B_{2}也显然相同，此时我们用符号表示为\alpha = \beta,或\beta=\alpha$
$\quad 但是，如果A_{1}与B_{1}不同，例如，A_{1}中的元素a_{1},没有包含在B_{1}中，因此被包含在B_{2}中，$
$这样B_{1}中的元素数量自然小于A_{1}中的数量$
$2.如果A_{1}中只有一个数a_{1}'是B_{1}所没有的，那么A_{1}中其他数字a_{1}也同样被包含在B_{1}中，且有a_{1}小于a_{1}',$
$即，a_{1}'是所有A_{1}元素中的最大的一个，因此，a_{1}',{A_{1},A_{2}}由\alpha=a_{1}'=b_{2}'产生。再看{B_{1},B{2}}.$
$我们已经知道B_{1}中的所有数b_{1}也都包含在a_{1}中，且小于a_{1}'=b_{2}',b_{2}'属于B_{2};B_{2}中的其他元素b_{2}均大于$
$b_{2}',否则，如果b_{2}小于b_{2}'，那么就会小于a_{1}'，就会属于B_{1}；因此，b_{2}'是B_{2}中的最小数，因此(B_{1},B_{2})$
$由b_{2}’由同样的有理数\beta=b_{2}'=a_{1}'=\alpha 产生,两者的区别是非本质的$
$\quad 3.如果在A_{1}中至少有两个数a_{1}'=b_{2}',a_{1}''=b_{2}'',不在B_{1}中，那么就有无数个这样的数存在。因为在这两数之间$
$的无穷多的数，都在A_{1}中，却都不在B_{1}中。这种情况下，我们说对应于两个本质上不同的分割(A_{1},{2})与(B_{1},B_{2})的两个数$
$\alpha 和\beta 是不同的，或者更进一步，我们说\alpha>\beta，以及\beta<\alpha,需要注意的是，这个定义与前面当\alpha和\beta$
$都是有理数时的定义完全一致。$
$\quad 剩下的情况如下$
$\quad 4.如果在B_{1}中存在一个且只有一个b_{1}'=a_{1}'，不属于A_{1},那么(A_{1},A_{2})与(B_{1},B_{2})仅仅是非本质性区别，$
$并且都是由同一个有理数\alpha=a_{2}'=b_{1}'=\beta产生$
$\quad\quad 5. 但是，如果B_{1}中至少有两个数是A_{1}中没有的，那么\beta>\alpha,或\alpha<\beta$
$\quad 上述讨论遍历了全部情况，可知，对于两个不同的数，只有其中一个大于另一个的情况.这一点在指定\alpha和\beta的大小关系时用到过，但是直到现在才给予了证明。在进行上述研究时，必须加倍小心，以防把其他领域的经验，照搬到研究对象中。$
$---------------下面是原文第9页---------------$
$\quad$
$\quad\quad 如果我们再稍微仔细些研究\alpha>\beta 的情况，显然，小的这个数\beta 如果是有理数，那么必然属于A_{1},因为在A_{1}中$
$存在一个数a_{1}'=b_{2}'属于 B_{2},于是有，不管\beta是B_{1}的最大值还是B_{2}的最小值，都有\beta\le a_{1}',因此\beta属于A_{1}.$
$同理,很显然，由\alpha>\beta,可知\alpha属于B_{2},因为\alpha\geq a_{1}'。结合上述两点，可得下面结果，如果一个切割是由数\alpha产生，$
$那么任何一个有理数，如果小于\alpha的数，划分于A_{1}，否则划分于A_{2};如果\alpha是有理数，那么它自己可以随意划归于A_{1}或A_{2}$.
$\quad\quad 最终，我们得到：若\alpha>\beta,即，如果有无穷多数，属于A_{1}，但是不属于B_{1},那么必然有无穷多数，既不同$
$于\alpha也不同于\beta;每个这样的数c都小于\alpha，因为它属于A_{1}；同时c>\beta,因为c属于B_{2}$
$\quad\quad\quad\quad V$
$\quad\quad\quad 实数域的连续性$
$作为前述特性产物，包含全体实数的系统R，建立了一个布局良好的一维域；这一切都是为了证明如下的结论：$
$I.若\alpha>\beta,且\beta>\gamma,则\alpha > \gamma .我们说\beta在\alpha和\gamma之间$
$II.若\alpha和\gamma是两个不同的数，那么此二数之间有无穷多数\beta存在；$
$III.若\alpha是任意一个有限数，那么实数域R被分成A_{1}和A_{2}两类，每个类都包含无数多数，第一类A_{1}包含所有小于$
$\alpha的数，第二类A_{2}包含所有大于\alpha的数，\alpha可以被任意归入任何一类，且相应成为A_{1}类的最大值或A_{2}类的最小值；$
$不管是上述哪一种情况，都会得到这样的结果：系统R被分成两类，第一类里的所有数，都小于第二类的所有数；并且我们说这个分割是\alpha产生的；$
$\quad\quad 为简洁起见，也为了避免让读者太累，我把前面用的那些定理的证明放在了后面。$
$\quad\quad 除了上述特性，域R还有连续性；即，下面的定理成立：$
$\quad IV.若包含全体实数的系统R被分成两部分A_{1}和A_{2},使得A_{1}中的所有数均小于和A_{2}中所有数，那么，$
$有且只有一个数能产生这样的分割；$
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