戴德金分割第7页
它的平方是D,设这个有理数是tu
那么D=t2u2
故存在两个正整数,t,u,有t2−Du2=0−−−−−−−−−−−−(1)
假设u是满足上述条件的最小正整数
因为D=t2u2,且λ2<D<(λ+1)2
故λu<t<(λ+1)u−−−−−−−−−−−−1
设u′=t−λu,由上式可知u′为正整数,且u′<u
如果我们进一步设
t′=Du−λt
由1式,tu>λ
tu−λ>0
t(tu−λ)>0
可得t2u−λt>0
可得t2u2∗u−λt>0
可得D∗u−λt>0
即t′>0,且t′为整数,即t′为正整数
且有
t′2−Du′2=(λ2−D)(t2−Du2)=0
可得,u′是比u还小的满足(1)式的正整数,与假设u是满足(1)式条件的最小整数矛盾
可知,没有有理数,其平方数是D
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