戴德金分割第7页

$它的平方是D，设这个有理数是\frac{t}{u}$
$那么D=\frac{t^2}{u^2}$
$故存在两个正整数，t,u,有t^2-Du^2=0------------(1)$
$假设u是满足上述条件的最小正整数$
$因为D=\frac{t^2}{u^2}，且\lambda^2<D<(\lambda+1)^2$
$故\quad \lambda u<t<(\lambda +1)u------------1$
$设u'=t - \lambda u,由上式可知u'为正整数，且u'<u$
$如果我们进一步设$
$t'=Du-\lambda t$
$由1式，\frac{t}{u}>\lambda$
$\frac{t}{u}-\lambda>0$
$t(\frac{t}{u}-\lambda)>0$
$可得\quad \frac{t^2}{u}-\lambda t>0$
$可得\quad \frac{t^2}{u^2}*u-\lambda t>0$
$可得\quad D*u-\lambda t>0$
$即\quad t'>0,且t'为整数，即t'为正整数$
$且有$
$t'^2-Du'^2=(\lambda^2-D)(t^2-Du^2)=0$
$可得，u'是比u还小的满足(1)式的正整数，与假设u是满足（1）式条件的最小整数矛盾$
$可知，没有有理数，其平方数是D$