戴德金分割第7页

\(它的平方是D，设这个有理数是\frac{t}{u}\)
\(那么D=\frac{t^2}{u^2}\)
\(故存在两个正整数，t,u,有t^2-Du^2=0------------(1)\)
\(假设u是满足上述条件的最小正整数\)
\(因为D=\frac{t^2}{u^2}，且\lambda^2<D<(\lambda+1)^2\)
\(故\quad \lambda u<t<(\lambda +1)u------------1\)
\(设u'=t - \lambda u,由上式可知u'为正整数，且u'<u\)
\(如果我们进一步设\)
\(t'=Du-\lambda t\)
\(由1式，\frac{t}{u}>\lambda\)
\(\frac{t}{u}-\lambda>0\)
\(t(\frac{t}{u}-\lambda)>0\)
\(可得\quad \frac{t^2}{u}-\lambda t>0\)
\(可得\quad \frac{t^2}{u^2}*u-\lambda t>0\)
\(可得\quad D*u-\lambda t>0\)
\(即\quad t'>0,且t'为整数，即t'为正整数\)
\(且有\)
\(t'^2-Du'^2=(\lambda^2-D)(t^2-Du^2)=0\)
\(可得，u'是比u还小的满足(1)式的正整数，与假设u是满足（1）式条件的最小整数矛盾\)
\(可知，没有有理数，其平方数是D\)