均值不等式，求极值

设x,y均大于0，xy（x+y）=4，求2x+y的最小值
$解:原式化为：x^2y+xy^2=4$
$x^2y+xy^2-4=0$
$看成关于x的一元二次方程$
$x_{1,2}=\frac{-y^2\pm\sqrt{y^4+16y}}{2y}$
$因为题设x>,所以舍弃负根，剩下$
$x=\frac{-y^2+\sqrt{y^4+16y}}{2y}$
$x=-\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{y^2+\frac{16}{y}}$
$2x+y=\sqrt{y^2+\frac{16}{y}}=\sqrt{y^2+\frac{8}{y}+\frac{8}{y}}$
$由均值不等式，得到上式≥\sqrt{3*\sqrt[3]{y^2\frac{8}{y}\frac{8}{y}}}$
$=\sqrt{3*4}$
$=2\sqrt{3}$