均值不等式，求极值

设x,y均大于0，xy（x+y）=4，求2x+y的最小值
\(解:原式化为：x^2y+xy^2=4\)
\(x^2y+xy^2-4=0\)
\(看成关于x的一元二次方程\)
\(x_{1,2}=\frac{-y^2\pm\sqrt{y^4+16y}}{2y}\)
\(因为题设x>,所以舍弃负根，剩下\)
\(x=\frac{-y^2+\sqrt{y^4+16y}}{2y}\)
\(x=-\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{y^2+\frac{16}{y}}\)
\(2x+y=\sqrt{y^2+\frac{16}{y}}=\sqrt{y^2+\frac{8}{y}+\frac{8}{y}}\)
\(由均值不等式，得到上式≥\sqrt{3*\sqrt[3]{y^2\frac{8}{y}\frac{8}{y}}}\)
\(=\sqrt{3*4}\)
\(=2\sqrt{3}\)