二次函数错题本：y=ax^2+4ax+3

这道题有两种解法，第一种是利用求根公式，第二种是利用数形结合

第1问：对称轴是x=-2
$把表达式改写为y=a(x+2)^2-4a+3,可得x=-2是抛物线的极值点，极值点的x坐标就是对称轴的x坐标$
$第2问：由题设，可得$
$y_{1}=a(-4)^2+4a(-4)+3$
$即：y_{1}=3\qquad\qquad①$
$y_{2}=am^2+4am+3\qquad\qquad②$
$y_{2}>y_{1},即:y_{2}-y_{1}>0\qquad③$
$把①式，②式带入③式，可得$
$am^2+4am+3>3$
$->am^2+4am>0$
$->m(am+4a)>0$
$因为a\neq 故两侧可同除a，可得，m(m+4)>0$
$可得m与m+4同号$
$可得：m>0且m>-4，即：m>0$
$或，m<0且m+4<0,即m<-4$
最终结果，m>0或m<-4
第三问
$解：既然有一个公共点，说明y与x轴有交点，即需要\delta\geq 0$
$即\delta=16a^2-12a\geq 0$
$当\delta=0时，有一个交点，即顶点在x轴，即x=-2时，y=0$
$即，4a-8a+3=0,可得a=\frac{3}{4}$
$或由\delta=0，即=16a^2-12a=0，同样可得a=\frac{3}{4}$
$故：a=\frac{3}{4}是一个答案$
$当\delta>0时，y与x轴有两个交点，要确保右侧的交点位于下图的蓝色线段之内，且需要去掉蓝色线段的左侧端点$

$即，假设两个根为x_{1},x_{2},且x_{1}<x_{2},则显然需要$
$0<x_{2}\leq 2\quad④$
若a>0,图形开口向上 ⑥，
$最大实根x_{2}=\frac{-4a+\sqrt{16a^2-12a}}{2a}$
$代入④式，可得:2a<\sqrt{4a^2-3a}且:\sqrt{4a^2-3a}\leq 0$
$最终可得 a<0，与⑥式假设矛盾，故$
$应有：a<0$
$设两个根:x_{1}=\frac{-4a+\sqrt{16a^2-12a}}{2a}$
$\quad x_{2}=\frac{-4a-\sqrt{16a^2-12a}}{2a}$
$化简为：x_{1}=-2+\frac{\sqrt{4a^2-3a}}{a}$
$化简为：x_{2}=-2-\frac{\sqrt{4a^2-3a}}{a}$

$所以x_{2}为大根，该根需满足$
$0<-2-\frac{\sqrt{4a^2-3a}}{a}\leq 2$
$即：2<-\frac{4a^2-3a}{a},且-\frac{4a^2-3a}{a} \leq 2$
$最终可得：a\leq -\frac{1}{4}$
$故，答案是a=\frac{3}{4}，或a\leq -\frac{1}{4}$

解法2
$若a>0，则图形开口向上，当x=0时，y=3，显然没有交点，故，a<0，即开口向下$
$当x=0时，y=3，说明该抛物线过点(0,3),当x=2时，若有y\leq0,即可确保抛物线与x轴有且只有一个交点$
$即:y=4a+8a+3\leq 0$
$即：12a+3\leq 0$
$即：a\leq -\frac{1}{4}$
$再加上判别式=0的情况$