实数理论

以下内容改编自华东师范大学出版的数学分析p289
一、构造原则

预备定理
【阿基米德有序域】
满足下列三个条件的集合F定义为有序域

1.F是域

在F上定义了加法“+”和乘法“”,使得F中任意元素a,b,c满足:
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
加法交换律:a+b=b+a
乘法结合律:(a*b)*c=a*(b*c)
乘法的交换律:a*b=b*a;
乘法关于加法的分配率:a
(b+c)=ab+ac

在F中存在以下元素:
F0使Faa+0=a0""
aF,aF,使aaa=0,aa""
Fe,使Faae=a,ee
aF,a1,使a+(a)=0,a1aaa1

2.【有序域】
满足以下性质的域,定义为 “有序域”;
在F中定义了序关系“<”具有如下(全序)性质:
【传递性】对于F中的元素a、b、c,若a<b,b<c,则a<c;
【三歧性】F中任意两个元素a与b之间,以下三种关系,必居其一,也之居其一:
a<b,a=b,a>b
这里a>b,就是b<a
序与加法、乘法运算结合时,有如下性质:
加法保序性:若 a>b,则对任何c\in F,有 a+c<b+c;
乘法保序性:若a<b,c>0,则 ac < bc

3 F中元素满足阿基米德性
【阿基米德性】
对F中任意两个正元素a,b,必存在自然数n,使得 na > b;
注意:a,b必须是正元素。
a=1N,n,n1N>b;

有理数集合Q是满足上面条件的阿基米德有序域,现在要从有理数出发,构造一个新的有序集,包括有理数和新数,并具备如下特征
1,是阿基米德有序域,
2,具有完备性,即:使得确界原理成立;
该新数集,称为【实数】
实数的构造法有,戴德金分割,康托尔的基本列说,区间套说,等;

二、分析
【完备性】
如果一个有序域能使 “确界原理” 成立,则称其为具有“完备性”;
有理数域Q不是完备的有序域,现在从有理数出发,构造一个具有完备性的有序域R;

下面讨论,假设这种域存在,那么应具有哪些性质。

引理1 一个有序域若具有完备性,必有 “阿基米德性”;(因为a的任意性,所以相当于a*N可以取到任意数值。)
证:假设不具有阿基米德性;
α,βna>b
βna
λ,nλnα,
n0,n0α>λα
n0α+α>λ
:(n0+1)α>λ(1)
(n0+1)α{nα}λ{nα}
或者:
(n0+2)αnaλna
(n0+2)λ
(1)(n0+2)λ<λ(n0+1)
(n0+2)α<λ(n0+1)α
α<0α

nαnαn+1α
λ

2
αβ

α+β2αβαβα+β2
αβα<β
αβ1N

:β>αβα>0N使:N(βα)>1
βα>1N
d=1N
{nd,nN+}nα>ααn0α
n0d>α
(n0dd)<α(1)
n0d<β
n0d<β
β>α,n0d>β,n0dα>βα
βα>dn0dα>d
n0d>d+α,n0dd>alpha
(1)
α<n0d<β,d=1N,n0d
,n0dαβ

RαR,αQ
γQ,γ>α,γ<α,
A={γ|γQ,γ<α},
A={γ|γQ,γ>α}
AA
1A
2AA=Q
3aA,aA,a<a

1
若A,A'是满足上述三个条件的集合,则称序对(A,A')为Q的一个分划,A称为该分划的下类,A'称为该分割的上类。

对于Q的分划只有下面三种:

γQ,A={x|xQ,x<γ}A={x|xQ,xγ}

γQ,A={x|xQ,xγ}A={x|xQ,x>γ}
,其中:上类有端分划的上类有最小值,下类没有最大值;下类有端分划的下类有最大值,上类没有最小值;注:由引理2,不存在上类有最小值,下类有最大值的分划。否则最小值和最大值之间,有无穷多有理数。$


A={x|xQ,x<0x2<2}
A={x|xinQ,x>0x2>2}
AA
x>1x2<2x+h,(x+h)2<2,x+hx2
h<1,(x+h)2=x2+2xh+h2<x2+2xh+h
<2,x2+2xh+h2<x2+2xh+h<2
h<2x22x+1
x+hxA
x>0,x2>2,0<h<1
(xh)2>2x22xh+h2>2
x22xh+h2>x22xh
x22xh>2
h<x222x
A

2

αAA
A=x|xQ,x<α,A=x|xQ,x>α
AA2

AAαα2



三、分划全体所构成的有序集
对每一个Q的第三种分划,都定义为一个新数,因为该分划与新数一一对应,所以把分划本身直接当成新数。
【注意:是对“有理数Q”的每一个第三种分划】

【定义2】
QRrr
r
α=[(A,A)


设A与A'是R的子集,满足如下条件:
1AA
2AA=R
3αA,αA,α<α
分划A和A'的这个数,或者是下类的最大值,或者是上类的最小值;
即,或者上类有端,或者下类有端,即,或者上类有最小值,或者下类有最大值。
证明:(改编自菲赫金哥尔茨的微积分学教程)
β,βR,βAA.
A,βAr,β<r,rA,rA
βA,A

【实数的完备性定理】
MRMMR

MRA,A=RA,(A,A)R
rR,rM
AA
AMaA,mM,a<m
a1a<a1<m
AA

注意:这个上确界有可能属于M。例如M={1,2,3,4,5},上确是所有大于等于5的实数,
上确界是5,5包含在A'中,因为上确界属于上界

b>a>0,k>0,nN+,a+nk>b
【证明】
b>a,ba>0,nN+,使nk>ba
a+nk>b

3QA,Ak>0,aA,aA,使aa=k
【证明】
cA,cA.a+nk>c
cn0k,(n01)kA(n01)kn0kaa
n02kA

posted @   strongdady  阅读(1618)  评论(0编辑  收藏  举报
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