实数理论
以下内容改编自华东师范大学出版的数学分析p289
一、构造原则
预备定理
【阿基米德有序域】
满足下列三个条件的集合F定义为有序域
1.F是域
在F上定义了加法“+”和乘法“”,使得F中任意元素a,b,c满足:
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
加法交换律:a+b=b+a
乘法结合律:(a*b)*c=a*(b*c)
乘法的交换律:a*b=b*a;
乘法关于加法的分配率:a(b+c)=ab+ac
在F中存在以下元素:
【零元素】在F中存在一个元素“0”,使得对F中任一元素a,有a+0=a,则称“0”为"零元素";
【反元素】对每一个元素a∈F,有一个元素(−a)∈F,使得a∗a−a=0,则称−a为a的"反元素"。
【单位元素】在F中存在一个元素e,使得对F中任一元素a,有a∗e=a,则称e为单位元素;(注意,不要跟无理数e混淆)
【逆元素】对每一个非零元素a∈F,有一个元素a−1,使得a+(−a)=0,则称a−1为a的逆元素。a与a1互为逆元素;
2.【有序域】
满足以下性质的域,定义为 “有序域”;
在F中定义了序关系“<”具有如下(全序)性质:
【传递性】对于F中的元素a、b、c,若a<b,b<c,则a<c;
【三歧性】F中任意两个元素a与b之间,以下三种关系,必居其一,也之居其一:
a<b,a=b,a>b
这里a>b,就是b<a
序与加法、乘法运算结合时,有如下性质:
加法保序性:若 a>b,则对任何c\in F,有 a+c<b+c;
乘法保序性:若a<b,c>0,则 ac < bc
3 F中元素满足阿基米德性
【阿基米德性】
对F中任意两个正元素a,b,必存在自然数n,使得 na > b;
注意:a,b必须是正元素。
另,设a=1N,则存在n,有n∗1N>b;
有理数集合Q是满足上面条件的阿基米德有序域,现在要从有理数出发,构造一个新的有序集,包括有理数和新数,并具备如下特征
1,是阿基米德有序域,
2,具有完备性,即:使得确界原理成立;
该新数集,称为【实数】
实数的构造法有,戴德金分割,康托尔的基本列说,区间套说,等;
二、分析
【完备性】
如果一个有序域能使 “确界原理” 成立,则称其为具有“完备性”;
有理数域Q不是完备的有序域,现在从有理数出发,构造一个具有完备性的有序域R;
下面讨论,假设这种域存在,那么应具有哪些性质。
引理1 一个有序域若具有完备性,必有 “阿基米德性”;(因为a的任意性,所以相当于a*N可以取到任意数值。)
证:假设不具有阿基米德性;
即∀α,β∈域中正元素,集合na中没有任何一项>b
则β为集合na的上界
因题设“确界原理”成立,故∃上确界λ,对一切自然数n,有λ⩾n∗α,
且∃n0,有n0∗α>λ−α
移项:n0∗α+α>λ
即:(n0+1)∗α>λ(1)
而(n0+1)∗α是{nα}中元素,而λ是{nα}的上确界,矛盾
或者:
因为(n0+2)∗α是na中元素,λ是na上确界故:
(n0+2)⩽λ
结合(1)式,有(n0+2)⩽λ<λ(n0+1)
可得:(n0+2)α<λ(n0+1)α
可得:α<0,与假设α为正元素矛盾
【几何分析】根本原因在n∗α无界,如果有确界,那么最靠近确界的那个n∗α可以跟确界无限接近,而下一个元素(n+1)α
的距离是固定的,当然会超过这个确界λ
引理2一个有序域,如果具有阿基米德性,则它的有理元素必在该域中稠密。即在该有序域中的任意两个不同元素
α和β之间必然存在一个有理元素(从而存在无穷多个有理数)
【分析】
注意,不能用α+β2存在于α和β之间来证明,因为α和β未必是有理数,故α+β2也未必是有理数
设α和β是域中两个不同元素,且α<β
思路分析:如下图,根据阿基米德性,可知α和β之间的差,大于一个1N
推导过程:因为β>α,故β−α>0,根据阿基米德性,存在N,使得:N(β−α)>1
即β−α>1N
设d=1N
在集合{nd,n∈N+}中,由阿基米德性,存在某项nα>α,设其中第一个大于α的项为n0α
即n0d>α
(n0d−d)<α(1)
下面证明n0d<β
用反证法,假设n0d<β
因为β>α,而n0d>β,故n0d−α>β−α
而β−α>d,故n0d−α>d
可得:n0d>d+α,即n0d−d>alpha
与(1)式矛盾
故有:α<n0d<β,且d=1N,n0d为有理数
即,n0d即为α与β之间的有理数
下面研究,R中新数,即非有理数,与有理数的关系。设α∈R,但是α∉Q
则∀γ∈Q,或者γ>α,或者γ<α,二者必居其一
设A={γ|γ∈Q,且γ<α},
A′={γ|γ∈Q,且γ>α}
此时A和A′满足下面三个条件
1、A和′皆不空;
2、A∪A′=Q
3、若a∈A,a′∈A′,则a<a′
【定义1】
若A,A'是满足上述三个条件的集合,则称序对(A,A')为Q的一个分划,A称为该分划的下类,A'称为该分割的上类。
对于Q的分划只有下面三种:
第一种:上类有端分划
∀γ∈Q,A={x|x∈Q,x<γ},A′={x|x∈Q,x⩾γ}
第二种:下类有端分划
∀γ∈Q,A={x|x∈Q,x⩽γ},A′={x|x∈Q,x>γ}
以上两种称为有端分划,其中:上类有端分划的上类有最小值,下类没有最大值;下类有端分划的下类有最大值,上类没有最小值;注:由引理2,不存在上类有最小值,下类有最大值的分划。否则最小值和最大值之间,有无穷多有理数。$
第三种,无端分划,即:上类没有最小值,且下类没有最大值
例如:
A={x|x∈Q,x<0,或者x2<2}
A′={x|xinQ,x>0且x2>2}
下面证明,在上面这个分割中,A没有最大值,A′没有最小值
∀x>1且x2<2时,如果某个数为x+h,如果满足(x+h)2<2,这个数x+h就介于x和√2之间
因为h<1,(x+h)2=x2+2xh+h2<x2+2xh+h
如果要求上式<2,即:x2+2xh+h2<x2+2xh+h<2
即:h<2−x22x+1
满足上述条件的x+h即是比x更小的值,所以A没有最大值
类似,设x>0,且x2>2,则对任何满足0<h<1
如果要求(x−h)2>2,即x2−2xh+h2>2
而x2−2xh+h2>x2−2xh
需x2−2xh>2即可
即h<x2−22x即可
故,A′没有最小值
第三种分划的存在,说明有理数虽然稠密,但是有空隙,√2就填补了上例的空隙
前面由新数α分割成的A和A′如下,
A=x|x∈Q,x<α,A′=x|x∈Q,x>α
如果A有最大值,A′有最小值,则这两数之间没有任何有理数,与引理2矛盾
所以该分划属于无端分划。
且A与A′之间只有α一个新数,否则,如果有两个新数,则α与该新数之间没有任何有理数,与引理2矛盾
可知,该分划唯一确定了一个新数,且该新数也唯一确定了一个分划
即,分划与新数一一对应
三、分划全体所构成的有序集
对每一个Q的第三种分划,都定义为一个新数,因为该分划与新数一一对应,所以把分划本身直接当成新数。
【注意:是对“有理数Q”的每一个第三种分划】
【定义2】
Q的分划的全体称为分划集,以R表示,其中第一种分划和第二种分划看做同一种分划,即由同一个r产生的分划(即,以r作为分割点,或分割数字),
称为“有端分划”,并用r∗记这个分划,第三种分划称为“无端分划”
无论有端分划还是无端分划,都有小写字母表示,如α=[(A,A′)
由于任一分划均由其上类,下类中的任何一类完全确定,因此,给定分划的一个类,也就完全确定了该分划。
戴德金定理
设A与A'是R的子集,满足如下条件:
1、A与A′不空;
2、A∪A′=R
3、若α∈A,α′∈A′,则α<α′
分划A和A'的这个数,或者是下类的最大值,或者是上类的最小值;
即,或者上类有端,或者下类有端,即,或者上类有最小值,或者下类有最大值。
证明:(改编自菲赫金哥尔茨的微积分学教程)
设产生这一分划的数为β,因为β∈R,则β必然属于A或者A′.
若属于A,则β必为A中最大值,否则,如果存在r,有β<r,则根据上面第三条,r∈A′,与r∈A矛盾
同理,若β∈A′,则必然是A′最小值
【实数的完备性定理】
设M为R的一个有上界的子集,则M必有上确界。即,M在R中全体上界所组成的集合有最小元。
【证明】
设M在R中全体上界组成的集合为A′,设A=RA′,则(A,A′)是R的一个分割。
(∀r∈R,r或者是M的上界,或者不是,二者必居其一)
根据戴德金定理,或者A有最大值,或者A′有最小值。
因为A中没有M的上界,故∀a∈A,∃m∈M,有a<m
由实数的稠密性可知,存在a1,有a<a1<m
故A中无最大值,则,根据戴德金定理,A′中必有最小值
而上界中的最小值,就是上确界
注意:这个上确界有可能属于M。例如M={1,2,3,4,5},上确是所有大于等于5的实数,
上确界是5,5包含在A'中,因为上确界属于上界
小引理:设b>a>0,k>0,∃n∈N+,有a+nk>b
【证明】
因为b>a,故b−a>0,由阿基米德性,∃n∈N+,使得nk>b−a
故:a+nk>b
引理3对任何Q的分划(A,A′)及任何有理数k>0,存在a∈A,a′∈A′,使得a′−a=k
【证明】
设c∈A,c′∈A′.由阿基米德性,在等差数列a+nk中存在某项>c′
设第一个大于c′的项为n0k,如果(n0−1)k属于A,则(n0−1)k和n0k即为所求的a和a′
否则,考察n0−2k是否在A内,直到符合条件,即为所求
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