实数理论

以下内容改编自华东师范大学出版的数学分析p289
一、构造原则

预备定理
【阿基米德有序域】
满足下列三个条件的集合F定义为有序域

1.F是域

在F上定义了加法“+”和乘法“”，使得F中任意元素a,b,c满足：
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c);
加法交换律：a+b=b+a
乘法结合律:(a*b)*c=a*(b*c)
乘法的交换律:a*b=b*a;
乘法关于加法的分配率:a(b+c)=ab+ac

在F中存在以下元素：
\(【零元素】在F中存在一个元素“0”，使得对F中任一元素a，有a+0=a，则称“0”为"零元素"；\)
\(【反元素】对每一个元素a\in F,有一个元素（-a）\in F,使得a*a^{-a}=0, 则称-a为a的"反元素"。\)
\(【单位元素】在F中存在一个元素e,使得对F中任一元素a，有a*e=a,则称e为单位元素；（注意，不要跟无理数e混淆）\)
\(【逆元素】对每一个非零元素a\in F,有一个元素a^{-1},使得a+(-a)=0,则称a^{-1}为a的逆元素。a与a^1互为逆元素；\)

2.【有序域】
满足以下性质的域，定义为 “有序域”；
在F中定义了序关系“<”具有如下（全序）性质：
【传递性】对于F中的元素a、b、c，若a<b,b<c,则a<c;
【三歧性】F中任意两个元素a与b之间，以下三种关系，必居其一，也之居其一:
a<b,a=b,a>b
这里a>b，就是b<a
序与加法、乘法运算结合时，有如下性质：
加法保序性：若 a>b,则对任何c\in F，有 a+c<b+c;
乘法保序性：若a<b，c>0,则 ac < bc

3 F中元素满足阿基米德性
【阿基米德性】
对F中任意两个正元素a,b,必存在自然数n，使得 na > b;
注意：a,b必须是正元素。
\(另，设a=\frac{1}{N},则存在n,有 n*\frac{1}{N}>b;\)

有理数集合Q是满足上面条件的阿基米德有序域，现在要从有理数出发，构造一个新的有序集，包括有理数和新数，并具备如下特征
1，是阿基米德有序域，
2，具有完备性，即：使得确界原理成立；
该新数集，称为【实数】
实数的构造法有，戴德金分割，康托尔的基本列说，区间套说，等；

二、分析
【完备性】
如果一个有序域能使 “确界原理” 成立，则称其为具有“完备性”；
有理数域Q不是完备的有序域，现在从有理数出发，构造一个具有完备性的有序域R；

下面讨论，假设这种域存在，那么应具有哪些性质。

引理1 一个有序域若具有完备性，必有 “阿基米德性”；（因为a的任意性，所以相当于a*N可以取到任意数值。）
证：假设不具有阿基米德性；
\(即\forall \alpha,\beta \in 域中正元素，集合{na}中没有任何一项>b\)
\(则\beta为集合{na}的上界\)
\(因题设“确界原理”成立，故\exists 上确界\lambda,对一切自然数n，有\lambda \geqslant n*\alpha,\)
\(且\exists n_{0},有n_{0}*\alpha >\lambda - \alpha\)
\(移项：n_{0}*\alpha + \alpha > \lambda\)
\(即: (n_{0}+1)*\alpha>\lambda\quad\quad(1)\)
\(而 (n_{0}+1)*\alpha 是\{n \alpha \}中元素，而\lambda是\{n\alpha\}的上确界，矛盾\)
或者：
\(因为(n_{0}+2)*\alpha是{na}中元素，\lambda是{na}上确界故：\)
\((n_{0}+2)\leqslant \lambda\)
\(结合(1)式，有(n_{0}+2)\leqslant \lambda < \lambda(n_{0}+1)\)
\(可得：(n_{0}+2)\alpha< \lambda(n_{0}+1)\alpha\)
\(可得：\alpha<0，与假设\alpha为正元素矛盾\)

\(【几何分析】根本原因在n*\alpha无界，如果有确界，那么最靠近确界的那个n*\alpha可以跟确界无限接近，而下一个元素（n+1）\alpha\)
\(的距离是固定的，当然会超过这个确界\lambda\)

\(引理2\quad 一个有序域，如果具有阿基米德性，则它的有理元素必在该域中稠密。即在该有序域中的任意两个不同元素\)
\(\alpha和\beta之间必然存在一个有理元素（从而存在无穷多个有理数）\)
\(【分析】\)
\(注意，不能用\frac{\alpha+\beta}{2}存在于\alpha和\beta之间来证明，因为\alpha和\beta未必是有理数，故\frac{\alpha+\beta}{2}也未必是有理数\)
\(设\alpha和\beta是域中两个不同元素，且\alpha<\beta\)
\(思路分析：如下图，根据阿基米德性，可知\alpha和\beta之间的差，大于一个\frac{1}{N}\)

\(推导过程:因为\beta > \alpha ，故\beta-\alpha>0，根据阿基米德性，存在N，使得:N(\beta-\alpha)>1\)
\(即\quad \beta-\alpha>\frac{1}{N}\)
\(设d=\frac{1}{N}\)
\(在集合\{nd,n\in N^+\}中，由阿基米德性，存在某项n\alpha>\alpha，设其中第一个大于\alpha 的项为n_{0}\alpha\)
\(即n_{0}d>\alpha\)
\((n_{0}d-d)<\alpha \quad\quad(1)\)
\(下面证明n_{0}d<\beta\)
\(用反证法，假设n_{0}d<\beta\)
\(因为\beta>\alpha,而n_{0}d>\beta,故n_{0}d-\alpha>\beta-\alpha\)
\(而\beta-\alpha>d，故n_{0}d-\alpha>d\)
\(可得：n_{0}d>d+\alpha,即\quad n_{0}d-d>alpha\)
\(与(1)式矛盾\)
\(故有：\alpha<n_{0}d<\beta,且d=\frac{1}{N},n_{0}d为有理数\)
\(即,n_{0}d即为\alpha与\beta之间的有理数\)

\(下面研究，R中新数，即非有理数，与有理数的关系。设\alpha\in R,但是\alpha\notin Q\)
\(则\forall \gamma \in Q,或者\gamma>\alpha,或者\gamma<\alpha,二者必居其一\)
\(设\quad A=\{\gamma|\gamma\in Q,且\gamma<\alpha\},\)
\(\quad\quad A'=\{\gamma|\gamma\in Q,且\gamma>\alpha\}\)
\(此时A和A'满足下面三个条件\)
\(1、A和'皆不空；\)
\(2、A\cup A'=Q\)
\(3、若a\in A,a'\in A',则a<a'\)

\(【定义1】\)
若A,A'是满足上述三个条件的集合，则称序对（A，A'）为Q的一个分划，A称为该分划的下类，A'称为该分割的上类。

对于Q的分划只有下面三种：
\(第一种：上类有端分划\)
\(\quad\quad \forall \gamma\in Q, A=\{x|x\in Q,x<\gamma\}，A'=\{x|x\in Q,x\geqslant\gamma\}\)
\(第二种：下类有端分划\)
\(\quad\quad \forall \gamma\in Q, A=\{x|x\in Q,x\leqslant\gamma\}，A'=\{x|x\in Q,x>\gamma\}\)
\(以上两种称为有端分划, \)其中：\( \)上类有端分划的上类有最小值，下类没有最大值；\( \)下类有端分划的下类有最大值，上类没有最小值；\( \)注：由引理2，不存在上类有最小值，下类有最大值的分划。否则最小值和最大值之间，有无穷多有理数。$
\(第三种，无端分划，即：上类没有最小值，且下类没有最大值\)
\(例如：\)
\(A=\{x|x\in Q, x<0，或者x^2<2\}\)
\(A'=\{x|xin Q,x>0且x^2>2\}\)
\(下面证明，在上面这个分割中，A没有最大值，A’没有最小值\)
\(\forall x>1且x^2<2时，如果某个数为x+h,如果满足(x+h)^2<2,这个数x+h就介于x和\sqrt{2}之间\)
\(因为h<1,(x+h)^2=x^2+2xh+h^2<x^2+2xh+h\)
\(如果要求上式<2,即：x^2+2xh+h^2<x^2+2xh+h<2\)
\(即：h<\frac{2-x^2}{2x+1}\)
\(满足上述条件的x+h即是比x更小的值，所以A没有最大值\)
\(类似，设x>0,且x^2>2,则对任何满足0<h<1\)
\(如果要求(x-h)^2>2，即\quad x^2-2xh+h^2>2\)
\(而x^2-2xh+h^2>x^2-2xh\)
\(需x^2-2xh>2即可\)
\(即\quad h<\frac{x^2-2}{2x}即可\)
\(故，A'没有最小值\)
\(\\\)
\(第三种分划的存在，说明有理数虽然稠密，但是有空隙，\sqrt{2}就填补了上例的空隙\)
\(\\\)
\(前面由新数\alpha 分割成的A和A'如下，\)
\(A={x|x\in Q,x<\alpha},A'={x|x\in Q,x>\alpha}\)
\(如果A有最大值，A'有最小值，则这两数之间没有任何有理数，与引理2矛盾\)
\(所以该分划属于无端分划。\)
\(且A与A’之间只有\alpha一个新数，否则，如果有两个新数，则\alpha与该新数之间没有任何有理数，与引理2矛盾\)
\(可知，该分划唯一确定了一个新数，且该新数也唯一确定了一个分划\)
\(即，分划与新数一一对应\)
\(\\\)
三、分划全体所构成的有序集
对每一个Q的第三种分划，都定义为一个新数，因为该分划与新数一一对应，所以把分划本身直接当成新数。
【注意：是对“有理数Q”的每一个第三种分划】
\(\\\)
【定义2】
\(Q的分划的全体称为分划集，以R表示，其中第一种分划和第二种分划看做同一种分划，即由同一个r产生的分划（即，以r作为分割点，或分割数字），\)
\(称为“有端分划”，并用r^*记这个分划，第三种分划称为“无端分划”\)
\(无论有端分划还是无端分划，都有小写字母表示，如\alpha=[(A,A')\)
\(由于任一分划均由其上类，下类中的任何一类完全确定，因此，给定分划的一个类，也就完全确定了该分划。\)
\(戴德金定理\)
设A与A'是R的子集，满足如下条件：
\(1、A与A'不空；\)
\(2、A\cup A'=R\)
\(3、若\alpha \in A,\alpha'\in A',则\alpha<\alpha'\)
分划A和A'的这个数，或者是下类的最大值，或者是上类的最小值；
即，或者上类有端，或者下类有端，即，或者上类有最小值，或者下类有最大值。
证明：（改编自菲赫金哥尔茨的微积分学教程）
\(设产生这一分划的数为\beta,因为\beta \in R,则\beta必然属于A或者A'.\)
\(若属于A,则\beta必为A中最大值，否则，如果存在r,有\beta<r,则根据上面第三条，r\in A',与r\in A矛盾\)
\(同理，若\beta \in A',则必然是A'最小值\)

【实数的完备性定理】
\(设M为R的一个有上界的子集，则M必有上确界。即，M在R中全体上界所组成的集合有最小元。\)
\(【证明】\)
\(设M在R中全体上界组成的集合为A',设A=R\\A',则(A,A')是R的一个分割。\)
\(（\forall r\in R,r或者是M的上界，或者不是，二者必居其一）\)
\(根据戴德金定理，或者A有最大值，或者A'有最小值。\)
\(因为A中没有M的上界，故\forall a \in A,\exists m\in M,有a<m\)
\(由实数的稠密性可知，存在a_{1}，有a<a_{1}<m\)
\(故A中无最大值，则，根据戴德金定理，A'中必有最小值\)
\(而上界中的最小值，就是上确界\)
注意：这个上确界有可能属于M。例如M={1,2,3,4,5},上确是所有大于等于5的实数，
上确界是5,5包含在A'中，因为上确界属于上界

\(小引理：设b>a>0,k>0,\exists n\in N^+,有a+nk>b\)
【证明】
\(因为b>a,故b-a>0,由阿基米德性，\exists n\in N^+,使得nk>b-a\)
\(故：a+nk>b\)

\(引理3 对任何Q的分划（A,A'）及任何有理数k>0,存在a\in A,a'\in A',使得a'-a=k\)
【证明】
\(设c\in A,c'\in A'.由阿基米德性，在等差数列{a+nk}中存在某项>c'\)
\(设第一个大于c'的项为n_{0}k,如果(n_{0}-1)k属于A，则(n_{0}-1)k和n_{0}k即为所求的a和a'\)
\(否则，考察{n_{0}-2}k是否在A内，直到符合条件，即为所求\)