零值定理的确界原理证明方法，来自百度

【定理内容】
$如果f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则存在\xi，有f(\xi)=0$
$证明$
$设f(a)<0,f(b)>0$
$设集合E=\{x|f(x)<0,x\in[a,b]\}$
$因为所有E中x均\leqslant b,故E有上界，必有上确界，设上确界为\xi，有\xi\in[a,b]$
$下面证明f(\xi)=0$
$反证法，假设f(\xi)<0$
$则，由连续函数的保号性可知，存在\delta>0,当x_{1}\in\{\xi,\xi+\delta\}\cap[a,b],有f(x_{1})<0$
$可知x_{1}>\xi,且因f(x_{1})<0，有x_{1}\in E$
$与\xi为E的上确界矛盾$
$同理可证，f(\xi)不可能大于0$
$故f(\xi)=0$