零值定理的确界原理证明方法，来自百度

【定理内容】
\(如果f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则存在\xi，有f(\xi)=0\)
\(证明\)
\(设f(a)<0,f(b)>0\)
\(设集合E=\{x|f(x)<0,x\in[a,b]\}\)
\(因为所有E中x均\leqslant b,故E有上界，必有上确界，设上确界为\xi，有\xi\in[a,b]\)
\(下面证明f(\xi)=0\)
\(反证法，假设f(\xi)<0\)
\(则，由连续函数的保号性可知，存在\delta>0,当x_{1}\in\{\xi,\xi+\delta\}\cap[a,b],有f(x_{1})<0\)
\(可知x_{1}>\xi,且因f(x_{1})<0，有x_{1}\in E\)
\(与\xi为E的上确界矛盾\)
\(同理可证，f(\xi)不可能大于0\)
\(故f(\xi)=0\)