零值定理

$【定理内容】若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)<0,则存在一点\xi，有f(\xi)=0$
$中科大的证明，经今日头条“数学数学救火队长马丁”老师提示，用的是数列极限的保不等式性，我这里加了一个反证法的证明。$
$设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则一定存在\xi\in[a,b],有f(\xi)=0$
$证明$
$不妨设f(a)<0,f(b)>0$
$若f(\frac{a+b}{2})=0,则\frac{a+b}{2}为所求的点$
$否则，该点函数值必与f在两端点a,b的取值异号，记这个异号的区间为[a1,b1]$
$保证右侧端点f取值为正$
$对[a1,b1]重复上述步骤，得到闭区间序列$
满足如下条件
$[a,b]\supset[a_{1},b_{1}]\supset[a_{2},b_{2}]...[a_{n},b_{n}]$
$0<b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^n}$
$lim_{n\to\infty}b_{n}-a_{n}=0$
$f(a_{n})<0<f(b_{n})\quad\quad(1)$
$由闭区间套定理可知，存在唯一一点\xi\in[a_{n},b_{n}],n=1,2,...$
$且lim_{n\to\infty}a_{n}=lim_{n\to\infty}b_{n}=\xi$
$因f为连续函数，故lim_{n\to\infty}f(a_{n})=lim_{n\to\infty}f(b_{n})=f(\xi)$
$根据数列极限的保不等式性，由f(a_{n})<0,f(b_{n})>0，可知:$
$lim_{n\to\infty}f(a_{n})\leqslant0$
$lim_{n\to\infty}f(b_{n})\geqslant0$
$即f(\xi)\leqslant 0,且f(\xi)\geqslant 0$
$可知,f(\xi)=0$
$证毕。$

$下面用反证法证明f(\xi)=0$
$反证法，假设f(\xi)\neq 0，不妨设f(\xi)<0$
$由lim_{n\to\infty}f(b_{n})=f(\xi),可知$
$\forall \epsilon>0,\exists N,当n>N时，有f(b_{n})-f(\xi)<\epsilon$
$取\epsilon=|\frac{f(\xi))}{2}|$
$因为f(\xi)<0,故\epsilon=-\frac{f(\xi))}{2}$
$故存在N,当n>N时，有|f(b_{n})-f(\xi)|<\epsilon$
$即\quad f(\xi)-\epsilon<f(b_{n})<f(\xi)+\epsilon$
$即\quad \frac{3f(\xi)}{2}<f(b_{n})<\frac{f(\xi)}{2}<0$
$而根据上面的（1）式，\forall n ,均有f(b_{n})>0,矛盾$
$同理，如果f(\xi)>0,将导致f(a_{n})>0)，矛盾$
$故，f(\xi)只能为0$
$证毕$
（即使用了数列极限的保号性，中科大的证明里没有）