零值定理

\(【定理内容】若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)<0,则存在一点\xi，有f(\xi)=0\)
\(中科大的证明，经今日头条“数学数学救火队长马丁”老师提示，用的是数列极限的保不等式性，我这里加了一个反证法的证明。\)
\(设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则一定存在\xi\in[a,b],有f(\xi)=0\)
\(证明\)
\(不妨设f(a)<0,f(b)>0\)
\(若f(\frac{a+b}{2})=0,则\frac{a+b}{2}为所求的点\)
\(否则，该点函数值必与f在两端点a,b的取值异号，记这个异号的区间为[a1,b1]\)
\(保证右侧端点f取值为正\)
\(对[a1,b1]重复上述步骤，得到闭区间序列\)
满足如下条件
\([a,b]\supset[a_{1},b_{1}]\supset[a_{2},b_{2}]...[a_{n},b_{n}]\)
\(0<b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^n}\)
\(lim_{n\to\infty}b_{n}-a_{n}=0\)
\(f(a_{n})<0<f(b_{n})\quad\quad(1)\)
\(由闭区间套定理可知，存在唯一一点\xi\in[a_{n},b_{n}],n=1,2,...\)
\(且lim_{n\to\infty}a_{n}=lim_{n\to\infty}b_{n}=\xi\)
\(因f为连续函数，故lim_{n\to\infty}f(a_{n})=lim_{n\to\infty}f(b_{n})=f(\xi)\)
\(根据数列极限的保不等式性，由f(a_{n})<0,f(b_{n})>0，可知:\)
\(lim_{n\to\infty}f(a_{n})\leqslant0\)
\(lim_{n\to\infty}f(b_{n})\geqslant0\)
\(即f(\xi)\leqslant 0,且f(\xi)\geqslant 0\)
\(可知,f(\xi)=0\)
\(证毕。\)

\(下面用反证法证明f(\xi)=0\)
\(反证法，假设f(\xi)\neq 0，不妨设f(\xi)<0\)
\(由lim_{n\to\infty}f(b_{n})=f(\xi),可知\)
\(\forall \epsilon>0,\exists N,当n>N时，有f(b_{n})-f(\xi)<\epsilon\)
\(取\epsilon=|\frac{f(\xi))}{2}|\)
\(因为f(\xi)<0,故\epsilon=-\frac{f(\xi))}{2}\)
\(故存在N,当n>N时，有|f(b_{n})-f(\xi)|<\epsilon\)
\(即\quad f(\xi)-\epsilon<f(b_{n})<f(\xi)+\epsilon\)
\(即\quad \frac{3f(\xi)}{2}<f(b_{n})<\frac{f(\xi)}{2}<0\)
\(而根据上面的（1）式，\forall n ,均有f(b_{n})>0,矛盾\)
\(同理，如果f(\xi)>0,将导致f(a_{n})>0)，矛盾\)
\(故，f(\xi)只能为0\)
\(证毕\)
（即使用了数列极限的保号性，中科大的证明里没有）