数列极限的保不等式性和注意事项（注意，不是数列极限的保号性）

$【定理内容】若\exists N_{0}，当n>N_{0}时，有a_{n}\leqslant b_{n},则lim_{n\to \infty}a_{n}\leqslant lim_{n\to\infty}b_{n}$
（注意，不是数列极限的保号性）
$说明，前提条件是从某项开始，所有项都满足a_{n}\leqslant b_{n},即a_{n}不大于b_{n},对于序号相同的项,即小于或者等于$
$如同分数线，不大于100分，则100分，以及0分都符合条件，结论都成立$
$或者理解为，b_{n}不小于a_{n},条件相当于分数线为100分，那么等于100分，或者120分，都满足条件。$
【证明】
反证法。
$假设lim_{n\to \infty}a_{n}>lim_{n\to\infty}b_{n}$
$设lim_{n\to \infty}a_{n}=a,lim_{n\to\infty}b_{n}=b$
$则依假设有：\quad a>b$
$设\epsilon=\frac{a-b}{2}$
$则\exists N_{1},当n>N_{1}时，|a_{n}-a|<\epsilon$
$则\exists N_{2},当n>N时_{2}，|b_{n}-b|<\epsilon$
$设N=max\{N_{0},N_{1},N_{2}\},则$
$当n>N时,有|a_{n}-a|<\epsilon,|b_{n}-b|<\epsilon$
$即\quad a-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon$
$\quad\quad b-\epsilon<b_{n}<b+\epsilon$
$即\quad a-\frac{a-b}{2}<a_{n}<a+\frac{a-b}{2}$
$\quad\quad b-\frac{a-b}{2}<b_{n}<b+\frac{a-b}{2}$
$化简如下$
$\frac{a+b}{2}<a_{n}<\frac{3a-b}{2}$
$\frac{3b-a}{2}<b_{n}<\frac{a+b}{2}$
$可得\quad b_{n}<a_{n}，矛盾$
证毕

注意，下面结论不成立
$若a_{n}<b_{n},则lim_{n\to\infty}a_{n}<lim_{n\to\infty}b_{n}$
$反例:-\frac{1}{n}<\frac{1}{n}$
$但是lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}=lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=1$