只证上界存在,下界同理。
【证明】
反证法,假设f(x)在闭区间[a,b]上连续,假设没有上界
则∀n∈N,∃xn∈[a,b],
有f(xn)>n(1)
因为xn∈[a,b],故xn有界
故,可从中取出一个收敛子列,记为xnk,由(1)式有f(xnk)>nk
limnnk→∞f(xnk)=+∞(2)
因为limnk→∞xnk=x0
所以,根据连续函数定义,可得:limnk→∞f(xnk)=f(x0)
与(2)式矛盾
证毕
下界同理
【注意】
如果是开区间,则有的函数有界,例如y=x,在开区间(0,1)上连续,且有界
但是f(x)=1x在开区间(0,1)连续,但是无界,当x→0时,f(x)→+∞
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