【定理】如果一个闭区间能够被一个开区间集合覆盖,则从中可以选出有限个开区间,覆盖住该闭区间。
【证明】
设闭区间[a,b]被开区间集合I覆盖。
用反证法,假设从中不能选出有限个开区间对[a,b]覆盖。
取[a,b]中点c,将[a,b]分为两个区间[a,c],[c,b],则这两个区间中必有有一个不能被I有限覆盖
记[a,b]为[a1,b1],记这个不能有限覆盖的区间为[a2,b2]
再将[a2,b2]一分为二,将其中不能有限覆盖的区间记为[a3,b3]
无限重复上述操作,得到无穷区间集合{[an,bn],n=1,2,⋅⋅⋅}
这个闭区间集合具有以下性质
(1)[an+1,bn+1]⊂[an,bn]
(2)bn−an=12n,n=1,2,3...
且an⩽bn,可得
0⩽bn−an⩽12n
根据迫敛定理,可得0⩽limn→∞bn−an⩽limn→∞12n=0
得到limn→∞(an−bn)=0
【注意】如果是开区间,那么该区间的有些开覆盖的集合可以选出有限覆盖,但是并非所有开覆盖集合,都能选出有限覆盖,来覆盖该区间
例如,虽然,开区间集合I={(−1n,1+1n),n∈N+},可以覆盖(0,1),而且可以有限覆盖(0,1)
但是,开区间集合I={(1n,1),n∈N+},可以覆盖(0,1),但是不能有限覆盖(0,1)
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