以下内容来自中科大数学分析教程P73,定理2.4.7
函数在x0点的极限的定义
若存在l,∀ϵ>0,∃δ>0,使得当|x−x0|<δ
则有|f(x)−l|<ϵ,即称l为f(x)当x趋近于x0的极限
定理:函数f(x)在x0处有极限的充要条件是∀ϵ>0,∃δ>0,
使得任意x1,x2∈U(x0,δ)时,有
|f(x1)−f(x2)|<ϵ
证明:
1.必要性
若f(x)在x0点的极限为l,即∀ϵ2>0,∃δ,当x1,x2∈U(x0,δ)
有|f(x1)−l|<ϵ2,|f(x2)−l|<ϵ2
则:|f(x1)−f(x2)|=|f(x1)+l−l−f(x2)|
⩽|f(x1)−l|+|f(x2)−l|
⩽ϵ2+ϵ2=ϵ
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