数列柯西收敛准则的子列收敛证明法(取自中科大数分教材)

中科大的证法是利用子列收敛，华东师范大学是利用构造一个数列
【数列的柯西收敛准则】
$数列a_{n}收敛的充要条件是,若\forall \epsilon>0,\exists N,\forall m,n>N，$
$有|a_{n}-a_{m}|<\epsilon\\$
$【说明】其含义是，数列a_{n}随着n趋于无穷，各项彼此越靠越近，越往后越近，任给一个任意小的整数，$
$都能从某项之后，任意两项之间的距离，或者说差的绝对值，都小于这个给定的任意小的数。$
$也就是，从某项之后，即使距离最大的两项，其距离差，都小于给定的任意小的数\\$
$【证明】$
$先证明充分性$
$设\forall \epsilon>0,\exists N, 当m,n>N时，有|a_{m}-a_{n}|<\epsilon$
$即-\epsilon<a_{m}-a_{n}<\epsilon$
$a_{n}-\epsilon<a_{m}<a_{n}+\epsilon$
$取\epsilon=1,则a_{n}-1<a_{m}<a_{n}+1$
$因为n是大于N的任意的正整数，a_{m}是一个定值，所以\forall n，都有a_{m}-1<a_{n}<a_{m}+1$
$故{a_{n}}有上下界，即有界$
$因为{a_{n}}是有界数列，有界数列必有收敛子列$
$设其一个收敛子列为{a_{n_{k}}},设lim_{n\to\infty}=a$
$则\forall\epsilon,\exists N,当n>N_{0}时，有|a_{n}-a|<\frac{epsilon}{2}$
$同时，根据题设，\exists N_{1},当m,n>N_{1}时，有|a_{n}-a_{m}|<\epsilon$
$设N_{2}=max\{N_{0},N_{1}\},则当m,n>N_{2}时，$
$|a_{m}-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2}$
$|a_{m}-a|=|a_{m}+a_{n}-a_{n}-a|$
$\leqslant |a_{m}-a|+|a_{n}-a|$
$\leqslant \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$
$即， \forall \epsilon>0,当m>N_{2}，则|a_{m}-a|<\epsilon$
$即，lim_{n\to\infty}a_{m}=a$
证毕
$\\$
下面证明必要性
$设lim_{n\to \infty}a_{n}=a$
$\forall frac{\epsilon}{2}>0,\exists N,当m,n>N时，有$
$|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2},|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2},$
$\forall m>N$
$|a_{m}-a_{n}|=|a_{m}-a+a-a_{n}|$
$\leqslant|a_{m}-a|+|a_{n}-a|$
$\leqslant\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}$
$=\epsilon$