设f(x)是[a,b]上连续函数,则f(x)在[a,b]上必然一致连续
证明:因为f(x)在[a,b]上连续,所以任取[a,b]内一点x0,任给ϵ2>0
∃δ(x0)>0,对于任何x∈[a,b],且异于x0,若|x−x0|<δ,有|f(x)−f(x0)|<ϵ
因为这个δ与x0的选取有关,对于同一个ϵ,不同位置的点,其对应的δ不同
设δ(x)2对应的邻域为U(x,δ(x)2)
设[a,b]上所有点的邻域集合为I=U(x,δ2),x∈[a,b]
则I构成对区间[a,b]的完全开覆盖
因为[a,b]是闭区间,所以,根据有限开覆盖原理,在I内,存在有限个开覆盖,可以完全覆盖[a,b]
设这个有限覆盖组成的集合为M={U(xk,δ2),k∈N+,xk∈[a,b]}
∀x1,x2∈[a,b],设|x1−x2|<δ2
因为M完全覆盖[a,b],所以x1必属于某点xk的邻域U(xk,δ2)∩[a,b],
因此,|x1−xk|<δ2
|x2−xk|<|x2−x1|+|x1−xl|=δ2+δ2=δ
因为x1,x2均在xk的邻域U(xk,δ)内,由函数的连续性,可知|f(x1)−f(xk)|<ϵ2,|f(x2)−f(xk)|<ϵ2
可得:|f(x1)−f(x2)|<|f(x1)−f(xk)|+|fx2−fxk|=ϵ2+ϵ2=ϵ
即∀ϵ>0,存在δ2,若x1,x2∈[a,b],且|x1−x2|<δ2
则|f(x1)−f(x2)|<ϵ
证毕
说明,只要给定ϵ,则对应的δ即确定,任何[a,b]内距离小于δ的两点,其函数差必然<ϵ
与这两点位置无关,仅与两点距离有关
只有闭区间才能使用有限覆盖
下图是知乎网友提供的课本证明https://www.zhihu.com/question/56393706
其中的k,应为R
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