用有限覆盖证明闭区间上的连续函数,必然一致连续

f(x)[a,b]f(x)[a,b]
f(x)[a,b][a,b]x0ϵ2>0
δ(x0)>0,x[a,b]x0|xx0|<δ|f(x)f(x0)|<ϵ
δx0ϵ,δ
δ(x)2U(x,δ(x)2)
[a,b]I=U(x,δ2),x[a,b]
I[a,b]
[a,b]I[a,b]
M={U(xk,δ2),kN+,xk[a,b]}
x1,x2[a,b],|x1x2|<δ2
M[a,b],x1xkU(xk,δ2)[a,b],
|x1xk|<δ2
|x2xk|<|x2x1|+|x1xl|=δ2+δ2=δ
x1,x2xkU(xk,δ)|f(x1)f(xk)|<ϵ2|f(x2)f(xk)|<ϵ2
|f(x1)f(x2)|<|f(x1)f(xk)|+|fx2fxk|=ϵ2+ϵ2=ϵ
ϵ>0,δ2,x1,x2[a,b],|x1x2|<δ2
|f(x1)f(x2)|<ϵ
证毕


ϵ,δ[a,b]δ<ϵ

使
下图是知乎网友提供的课本证明https://www.zhihu.com/question/56393706
其中的k,应为R

posted @   strongdady  阅读(2849)  评论(1编辑  收藏  举报
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