拉格朗日中值定理的辅助函数的构造原理

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英语单词: lagrange mean value theorem
auxiliary function
construction of the auxiliary function

有多种构造方法, 辅助函数不止一个
一,几何方法,多种

思路:设构造出的辅助函数为F,必须有F(a)=F(b),才能应用罗尔中值定理
(注意,是F(a)=F(b),而非F(a)=F(b)=0,不需要等于0)
1F(x)线xF(a)=F(b)F(a)=F(b)=01F(x)线xF(a)=F(b)F(a)=F(b)=0
2f(x)aaF(a)=F(b),F(a)=F(b)02f(x)aaF(a)=F(b),F(a)=F(b)0
3F(a)=F(b),F(a)=F(b)03F(a)=F(b),F(a)=F(b)0

拉格朗日的做法,是方法1.

方法1
f(x)[a,b]线AB使xF(a)=F(b)=0f(x)[a,b]线AB使xF(a)=F(b)=0
xx
AB线g(x)=kx+bAB线g(x)=kx+b
:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,
k=f(b)f(a)bak=f(b)f(a)ba
b=f(a)f(b)f(a)baab=f(a)f(b)f(a)baa
y=f(b)f(a)bax+f(a)f(b)f(a)baay=f(b)f(a)bax+f(a)f(b)f(a)baa
y=f(a)+f(b)f(a)ba(xa)y=f(a)+f(b)f(a)ba(xa)
F(x)f(x)线BxF(x)f(x)线Bx
F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)


方法2
B1+af(a)B1+af(a)
F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)+f(a)F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)+f(a)
F(x)=f(x)f(b)f(a)ba(xa)F(x)=f(x)f(b)f(a)ba(xa)
:F(a)=f(a),F(b)=f(a):F(a)=f(a),F(b)=f(a)
:F(a)=F(b):F(a)=F(b)

方法3
3:A1+f(b)3:A1+f(b)
F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)+f(b)F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)+f(b)
:F(a)=f(b),F(b)=f(b)
:F(a)=F(b)=f(b)

其他方法
OAB线
F(x)=f(x)f(b)f(a)bax


线(a,0)线x
AB线

待定系数法
F(x)=f(x)+λx
F(a)=f(a)+λa=F(b)=f(b)+λb
:λ=f(b)f(a)ba
F(x)=f(x)f(b)f(a)bax

闭区间套法




定积分法


不定积分法



旋转坐标系法(如果旋转f(x),类似)




参考文献
广西柳州职业技术学院余惠霖的文章
https://wenku.baidu.com/view/403bd330ff00bed5b8f31d0f.html


天水师范学院常正军的毕业论文
https://www.docin.com/p-694641420.html

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