拉格朗日中值定理的辅助函数的构造原理
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英语单词: lagrange mean value theorem
auxiliary function
construction of the auxiliary function
有多种构造方法, 辅助函数不止一个
一,几何方法,多种
思路:设构造出的辅助函数为F,必须有F(a)=F(b),才能应用罗尔中值定理
(注意,是F(a)=F(b),而非F(a)=F(b)=0,不需要等于0)
方法1:让F(x)曲线的弦下移,跟x轴重合,即可保证F(a)=F(b),且F(a)=F(b)=0方法1:让F(x)曲线的弦下移,跟x轴重合,即可保证F(a)=F(b),且F(a)=F(b)=0
方法2:只需f(x)的左侧端点a点不动,右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法2:只需f(x)的左侧端点a点不动,右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0
方法3:让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法3:让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0
拉格朗日的做法,是方法1.
方法1
让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移,下移直线弦AB,并使之跟x轴重合,即F(a)=F(b)=0。让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移,下移直线弦AB,并使之跟x轴重合,即F(a)=F(b)=0。
这个下移的距离是一个跟x有关的函数,这个函数这个下移的距离是一个跟x有关的函数,这个函数
就是弦AB的直线段的函数:g(x)=kx+b就是弦AB的直线段的函数:g(x)=kx+b
由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,
解得,k=f(b)−f(a)b−a解得,k=f(b)−f(a)b−a
b=f(a)−f(b)−f(a)b−aab=f(a)−f(b)−f(a)b−aa
弦方程为:y=f(b)−f(a)b−ax+f(a)−f(b)−f(a)b−aa弦方程为:y=f(b)−f(a)b−ax+f(a)−f(b)−f(a)b−aa
合并同类项:y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)合并同类项:y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)
让F(x)减去弦的高度,即上式的弦方程,即可做到f(x)曲线的右端点B,落在x轴上让F(x)减去弦的高度,即上式的弦方程,即可做到f(x)曲线的右端点B,落在x轴上
即:F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)即:F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)
上式与拉格朗日中值定理的辅助函数,完全一致上式与拉格朗日中值定理的辅助函数,完全一致
方法2
右端点B下降的高度,相当于方法1的结果+a点高度f(a)即可右端点B下降的高度,相当于方法1的结果+a点高度f(a)即可
即F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)即F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)
即F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)即F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)
满足:F(a)=f(a),F(b)=f(a)满足:F(a)=f(a),F(b)=f(a)
即,满足:F(a)=F(b)即,满足:F(a)=F(b)
方法3
方法3:如果是上移左端点A,只需方法1的结果+右端点高度f(b)即可方法3:如果是上移左端点A,只需方法1的结果+右端点高度f(b)即可
即F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(b)即F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(b)
满足:F(a)=f(b),F(b)=f(b)
即,满足:F(a)=F(b)=f(b)
其他方法
用从原点O出发的,跟弦AB平行的直线,上移左端点或者下移右端点,方法类似上面
得到F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−ax
【注意】有网友认为是曲线先下落,然后以(a,0)点为轴,旋转曲线右端点到x轴,这是错误的。
因为旋转是弧形旋转,弦AB长度不变,实际是长度缩短了,因为是投影下来的,曲线两端点的距离不变
待定系数法
设F(x)=f(x)+λx
则有F(a)=f(a)+λa=F(b)=f(b)+λb
可得:λ=−f(b)−f(a)b−a
则F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−ax
与前面的“其他方法”结果一致
闭区间套法
定积分法
不定积分法
旋转坐标系法(如果旋转f(x),类似)
参考文献
广西柳州职业技术学院余惠霖的文章
https://wenku.baidu.com/view/403bd330ff00bed5b8f31d0f.html
天水师范学院常正军的毕业论文
https://www.docin.com/p-694641420.html
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