费马极值引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理

微分三大中值定理，罗尔中值定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
我对拉格朗日中值定理的构造函数的构造思路，进行了自己的猜测，网上没有找到类似的猜测和研究
下面的费马定理可以看做是三大中值定理的引理

费马定理(fermat):\(设f(x)在其极值点x_{0}处可导，则f'(x_{0})=0\)

*以下证明的前提，都是在(a,b)上可导，而不是[a,b]上可导，原因在于端点a,b两侧，[a,b]之外，未必可导，甚至未必有定义。
a,b的左右导数，未必等于另一侧导数。即，a点左导数，不一定等于a点右导数
*拉格朗日中值定理，是罗尔中值定理的推广，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。
柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。

\(证明：因为f(x)在x_{0}点位极值点，故\exists x_{0}的邻域U(x_{0},\delta)，\forall x \in U，有f(0)\geqslant f(x)\)
\(在x_{0}点的左右极限如下\)

\(左极限为\quad\quad lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-\delta)}{\delta}\geqslant 0\)

\(右极限为\quad\quad lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0}+\delta)-f(x_{0})}{\delta}\leqslant 0\)
\(因为f(x)在x_{0}可导，所以左极限与右极限相等，故\)
\(0 \leqslant lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-\delta)}{\delta}=f'(x_{0})=lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0}+\delta)-f(x_{0})}{\delta}\geqslant 0\)
\(可得 f'(x_{0})=0\)

\(罗尔中值定理(Rolle)设函数f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),那么\\至少存在一点\xi \in (a,b)，有f'(\xi)=0\)

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

\(拉格朗日中值定理：设f在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在一点ξ\in (a,b),有\\\)
\(\quad\quad\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(ξ)\)
\(证明：构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a)\)
\(则g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导\)
\(且有g(a)=0,g(b)=0\)
\(根据罗尔定理，至少\exists 一点\xi 有g'(\xi)=0\)
\(即g'(\xi)=0\)
\(则有g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(a)-f(b)}{b-a}=0\)
\(即：f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}\)
证毕

拉格朗日中值定理

\(若f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则\exists \xi，有\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\)
\(证明：构造辅助函数\quad F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a)\)
\(则\quad F(a)=F(b)=0\)
\(由罗尔中值定理，\exists \xi,有F'(\xi)=0\)
\(即\quad f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)
\(即f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

柯西中值定理：

\(若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，那么\\\)
\(\exists \xi \in (a,b)，有\quad\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)
\(证明：构造辅助函数F(x)=(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(x)-f(a))\)
\(则\quad F(a)=F(b)=0\)
\(由罗尔中值定理，可知\quad \exists \xi \in(a,b),有\\\)
\(F'(\xi)=0\)
\(即\quad F'(\xi)=(f(b)-f(a))g'(\xi)-(g(b)-g(a))f'(\xi)=0\)
\(即：\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\\)
柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。