费马极值引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理
微分三大中值定理,罗尔中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。
我对拉格朗日中值定理的构造函数的构造思路,进行了自己的猜测,网上没有找到类似的猜测和研究
下面的费马定理可以看做是三大中值定理的引理
费马定理(fermat):设f(x)在其极值点x0处可导,则f′(x0)=0设f(x)在其极值点x0处可导,则f′(x0)=0
*以下证明的前提,都是在(a,b)上可导,而不是[a,b]上可导,原因在于端点a,b两侧,[a,b]之外,未必可导,甚至未必有定义。
a,b的左右导数,未必等于另一侧导数。即,a点左导数,不一定等于a点右导数
*拉格朗日中值定理,是罗尔中值定理的推广,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例,即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。
柯西中值定理,是拉格朗日中值定理的一个特例,即,g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。
证明:因为f(x)在x0点位极值点,故∃x0的邻域U(x0,δ),∀x∈U,有f(0)⩾f(x)证明:因为f(x)在x0点位极值点,故∃x0的邻域U(x0,δ),∀x∈U,有f(0)⩾f(x)
在x0点的左右极限如下在x0点的左右极限如下
左极限为limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ⩾0左极限为limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ⩾0
右极限为limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩽0右极限为limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩽0
因为f(x)在x0可导,所以左极限与右极限相等,故因为f(x)在x0可导,所以左极限与右极限相等,故
0⩽limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ=f′(x0)=limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩾00⩽limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ=f′(x0)=limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩾0
可得f′(x0)=0可得f′(x0)=0
罗尔中值定理(Rolle)设函数f在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),有f′(ξ)=0罗尔中值定理(Rolle)设函数f在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),有f′(ξ)=0
证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:
2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理,可导f'(ξ)=0。
另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。
拉格朗日中值定理:设f在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在一点ξ∈(a,b),有拉格朗日中值定理:设f在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在一点ξ∈(a,b),有
f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)
证明:构造辅助函数g(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a∗(x−a)证明:构造辅助函数g(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a∗(x−a)
则g(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)上可导则g(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)上可导
且有g(a)=0,g(b)=0且有g(a)=0,g(b)=0
根据罗尔定理,至少∃一点ξ有g′(ξ)=0根据罗尔定理,至少∃一点ξ有g′(ξ)=0
即g′(ξ)=0即g′(ξ)=0
则有g′(ξ)=f′(ξ)−f(a)−f(b)b−a=0则有g′(ξ)=f′(ξ)−f(a)−f(b)b−a=0
即:f′(ξ)=f(a)−f(b)b−a即:f′(ξ)=f(a)−f(b)b−a
证毕
拉格朗日中值定理
若f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则∃ξ,有f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)若f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则∃ξ,有f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)
证明:构造辅助函数F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a∗(x−a)证明:构造辅助函数F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a∗(x−a)
则F(a)=F(b)=0则F(a)=F(b)=0
由罗尔中值定理,∃ξ,有F′(ξ)=0由罗尔中值定理,∃ξ,有F′(ξ)=0
即f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0即f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0
即f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a即f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a
柯西中值定理:
若f(x),g(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)上可导,那么若f(x),g(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)上可导,那么
∃ξ∈(a,b),有f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)∃ξ∈(a,b),有f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)
证明:构造辅助函数F(x)=(f(b)−f(a))(g(x)−g(a))−(g(b)−g(a))(f(x)−f(a))证明:构造辅助函数F(x)=(f(b)−f(a))(g(x)−g(a))−(g(b)−g(a))(f(x)−f(a))
则F(a)=F(b)=0则F(a)=F(b)=0
由罗尔中值定理,可知∃ξ∈(a,b),有由罗尔中值定理,可知∃ξ∈(a,b),有
F′(ξ)=0F′(ξ)=0
即F′(ξ)=(f(b)−f(a))g′(ξ)−(g(b)−g(a))f′(ξ)=0即F′(ξ)=(f(b)−f(a))g′(ξ)−(g(b)−g(a))f′(ξ)=0
即:f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)即:f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)
柯西中值定理,是拉格朗日中值定理的一个特例,即,g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步