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费马极值引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理

微分三大中值定理,罗尔中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。
我对拉格朗日中值定理的构造函数的构造思路,进行了自己的猜测,网上没有找到类似的猜测和研究
下面的费马定理可以看做是三大中值定理的引理

费马定理(fermat):f(x)x0f(x0)=0f(x)x0f(x0)=0

*以下证明的前提,都是在(a,b)上可导,而不是[a,b]上可导,原因在于端点a,b两侧,[a,b]之外,未必可导,甚至未必有定义。
a,b的左右导数,未必等于另一侧导数。即,a点左导数,不一定等于a点右导数
*拉格朗日中值定理,是罗尔中值定理的推广,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例,即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。
柯西中值定理,是拉格朗日中值定理的一个特例,即,g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。

f(x)x0x0U(x0,δ)xUf(0)f(x)f(x)x0x0U(x0,δ)xUf(0)f(x)
x0x0

limδ0f(x0)f(x0δ)δ0limδ0f(x0)f(x0δ)δ0

limδ0f(x0+δ)f(x0)δ0limδ0f(x0+δ)f(x0)δ0
f(x)x0f(x)x0
0limδ0f(x0)f(x0δ)δ=f(x0)=limδ0f(x0+δ)f(x0)δ00limδ0f(x0)f(x0δ)δ=f(x0)=limδ0f(x0+δ)f(x0)δ0
f(x0)=0f(x0)=0

(Rolle)f[a,b](a,b)f(a)=f(b),ξ(a,b)f(ξ)=0(Rolle)f[a,b](a,b)f(a)=f(b),ξ(a,b)f(ξ)=0

证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:
2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理,可导f'(ξ)=0。
另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。

f[a,b](a,b)ξ(a,b),f[a,b](a,b)ξ(a,b),
f(b)f(a)ba=f(ξ)f(b)f(a)ba=f(ξ)
g(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)g(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)
g(x)[a,b](a,b)g(x)[a,b](a,b)
g(a)=0,g(b)=0g(a)=0,g(b)=0
ξg(ξ)=0ξg(ξ)=0
g(ξ)=0g(ξ)=0
g(ξ)=f(ξ)f(a)f(b)ba=0g(ξ)=f(ξ)f(a)f(b)ba=0
f(ξ)=f(a)f(b)baf(ξ)=f(a)f(b)ba
证毕

拉格朗日中值定理

f(x),g(x)[a,b](a,b)ξf(b)f(a)ba=f(ξ)f(x),g(x)[a,b](a,b)ξf(b)f(a)ba=f(ξ)
F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa)
F(a)=F(b)=0F(a)=F(b)=0
ξ,F(ξ)=0ξ,F(ξ)=0
f(ξ)f(b)f(a)ba=0f(ξ)f(b)f(a)ba=0
f(ξ)=f(b)f(a)baf(ξ)=f(b)f(a)ba

柯西中值定理:

f(x),g(x)[a,b](a,b)f(x),g(x)[a,b](a,b)
ξ(a,b)f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)ξ(a,b)f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)
F(x)=(f(b)f(a))(g(x)g(a))(g(b)g(a))(f(x)f(a))F(x)=(f(b)f(a))(g(x)g(a))(g(b)g(a))(f(x)f(a))
F(a)=F(b)=0F(a)=F(b)=0
ξ(a,b),ξ(a,b),
F(ξ)=0F(ξ)=0
F(ξ)=(f(b)f(a))g(ξ)(g(b)g(a))f(ξ)=0F(ξ)=(f(b)f(a))g(ξ)(g(b)g(a))f(ξ)=0
f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)
柯西中值定理,是拉格朗日中值定理的一个特例,即,g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。

posted @   strongdady  阅读(8208)  评论(0编辑  收藏  举报
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