单调有界数列必有极限的证明---改编自中科大数分教材

定理：单调有界数列必有极限

证明：仅证明单调递增有界数列必有极限，单调递减数列类似。
设{$a_{n}$}为单调递增数列，且有上界。
把该数列各项用十进制无限小数形式表示如下：
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$a_{1}=A_{1}.b_{11}b_{12}b_{13}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$a_{2}=A_{2}.b_{21}b_{22}b_{23}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$a_{3}=A_{3}.b_{31}b_{32}b_{33}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$..........
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$..........
其中$A_{1},A_{2},A_{3}...是整数部分，b_{ij}是小数部分的数字$，为0-9中的数字。$\\$
$因为数列{a_{n}}是有界数列，所以整数部分不会无限增大，又因为{a_{n}}是有界数列，$$\\$
$所以整数数列A_{n}在达到最大值之后将固定不变，记该最大整数为A，并设A在第N_{0}行$$\\$
$上出现。考察第二列，即各行数字的小数部分的第一列b_{11}, b_{21}, b_{31}...$$\\$
$考察第A_{N_{0}}行和以下各行。$$\\$
$设x_{1}是出现在该列的最大数字，设其第一次出现在第N_{1}行上，其中N_{1}\geqslant N_{0}$.$\\$
$则x_{1}一旦出现，不会改变，因为{a_{n}}是递增数列，且该行数字的整数部分，已经是最大值A$。$\\$
$继续考察各行数字的小数部分的第二列b_{21}, b_{31}, b_{41}...$
$同理可知，该列将出现一个最大固定值x_{2}，假设出现在第N_{2}行，这里N_{2}\geqslant N_{1}$$\\$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$a_{1}=A_{1}.b_{11}b_{12}b_{13}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$a_{2}=A_{2}.b_{21}b_{22}b_{23}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$a_{3}=A_{3}.b_{31}b_{32}b_{33}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
$第N_{0}行:\quad\quad$$a_{N_{0}}=A.b_{N_{0}1}b_{N_{0}2}b_{N_{0}3}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
$第N_{1}行:\quad\quad$$a_{N_{1}}=A.x_{1}b_{N_{1}2}b_{N_{1}3}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
$第N_{2}行:\quad\quad$$a_{N_{2}}=A.x_{1}x_{2}b_{N_{2}3}$......
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$\quad\quad\quad$...............
重复以上过程，得到$\quad\quad$a=$A.x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$......
$下面证明，上式的a就是数列{a_{n}}的极限$
$\forall\varepsilon$>0，设m$\in$$N^{+}$,使得$10^{-m}<\varepsilon$
则有$a_{N_{m}}$=A.$x_{1}x_{2}x_{3}$......$x_{m}b_{N_{m},m+1}$......
注：$a_{N_{m}}$是指整数部分为A，小数部分的前m-1位，均为各自列的最大值$x_{1}$-$x_{m-1}$，$\\$
$\quad\quad$$b_{n,m}$这一列最大数字$x_{m}$第一次出现的那个数字$\\$
那么，$\forall$n>$N_{m}$, $A_{n}$=A.$x_{1}x_{2}x_{3}$......$x_{m}b_{n,m+1}$......
a与$a_{n}$ 的整数部分和前m位小数完全一样
|a-$a_{n}$|=|A.$x_{1}x_{2}x_{3}$......$x_{m}x_{m+1}$
$\quad\quad$-A.$x_{1}x_{2}x_{3}$......$x_{m}b_{n,m+1}$|<$\frac{1}{10^{m}}$<$\varepsilon$
所以 $\lim_{n\to\infty}a_{n}$ = $A.x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$......
即 $\lim_{n\to\infty}a_{n} = a$
证毕.