数列极限的乘法定律

若{$a_{n}$}与{$b_{n}$}为收敛数列，则{$a_{n} \cdot b_{n}$}为收敛数列，且有 $lim_{n\to\infty} ( a_{n} \cdot b_{n} ) = lim_{n\to\infty}  a_{n}  \cdot lim_{n\to\infty}  b_{n}$

证明：

     设$lim_{n\to\infty}a_{n} = a, lim_{n\to\infty}b_{n} = b$, 则 $\forall>0$, 分别存在正数$N_{1}$与正数$N_{2}$, 有

      $\left|a_{n}-a\right| < \epsilon$, 当 n > $N_{1}$

      $\left|b_{n}-a\right| < \epsilon$, 当 n > $N_{2}$

     设N = max{$N_{1}$，$N_{2}$}，则当 n > N 时上述两不等式同时成立，所以有

      $\left|a_{n}b_{n}  - ab \right|$     =  $\left|a_{n}b_{n} - a b_{n} + ab_{n} - ab  \right|$

                                =  $\left|(a_{n} - a )b_{n} + a(b_{n} - b)  \right|$

                               

 由收敛数列的有界性定理，存在正整数M，对一切 n 有$\left|b_{n}\right|$ < M. 于是，当 n>N 时，

      $\left|a_{n}b_{n}  - ab \right| \le$ ( M + $\left|a\right|) \epsilon$     

　　由 $\epsilon$ 的任意性，可得 $lim_{n\to\infty}a_{n}b_{n} = ab$,

证毕.