阿基米德性的内容和证明
名称: 阿基米德性
各 来源:华东师范大学,数学分析,上册,第三版,附录2 ,290页
F中元素满足阿基米德性,对任意两个正元素a, b , 必存在自然数n, 使得 na > b
定理内容: 对于任何实数x,存在自然数n有n>x
来源:百度
分析
对任何a,b 两个正数,存在自然数n, 使得 na > b
推论1.1:设 a = 1,即变为:存在自然数 N,对任何正数 b 有N > b , 即,不存在最大实数;
推论1.2: 对任何正有理数,都有一个正有理数小于该数;
推论2 :对任何a,b,k大于0, 存在N,有a + Nk > b
推论3:对于任何有理数r,总存在比它大的正整数n,即 n> r
推论4:对于任何有理数r,总存在比它小的数q,即 q < r
阿基米德性在实数范围内的证明
说明: 1 利用确界定理,前提是确界定理在实数中成立。 注:确界定理在有理数范围内不成立,例如,集合 A:{x 属于 Q有理数 | x <根号2}在有理数范围内,没有 上确界,因为可以无限靠近根号2。
2 使得确界原理成立的有序域,称为有完备性的有序域。有理数域是不完备的。----------华东师范大学 数学分析 第三版 p290
3 华东师范大学 附录2 p290有证明
证:用反证法。
设 a, b 为正元素,集合 A = { na, n为任意自然数 }
若对于任意n,都有 na < b, 说明集合A有上界,b就是上界中的一个元素,即 b 是集合A的一个上界
由确界原理可知,A有上确界,记为 supA , 则 对任何 na,具有 na < supA
且存在一个N,有Na , 有Na > supA - a
可推得 Na > supA -a
-> Na + a > supA
-> (N + 1) a > supA
而(N + 1)属于A,(N+1)a 应该小于 supA
故,矛盾
推论1.1 的证明:将阿基米德性定理中的 a 取1,则得到 存在 n, 有 na > b, 而a = 1,于是有 n > b
推论1.2的证明: 设 r 为任意有理数,则根据有理数的定义 r可以表示为 m/n, 于是r 的倒数 1/r 为 n/m
也是有理数,于是根据阿基米德性, 存在n,有 n > 1/r, 取倒数, 有1/n < r
这个1/n是有理数,所以1/n 就是小于r的有理数。
分析,推论1.1和推论1.2 相当于没有最大正有理数,也没有最小正有理数
另,阿基米德性在实数域内成立,可知 实数没有最大正实数和最新正实数
推论 2 的证明 :对任何a,b,k大于0, 存在N,有a + Nk > b
若 a > b, 则 b - a < 0
而 k > 0
故有 k > b-a
上式两边+a,有 a + k > b, 此时结论成立,N=1
若b-a >0, 则由阿基米德性,存在 N,有
Nk > b-a
上式两侧 + a, 可得
a + Nk > b
结论成立
证毕
欧几里得性的解释:
任意给定两个正实数a、b,必存在正整数n,使na>b。
几何描述:在长短不同的两条线段中,无论较长的线段怎样长,较短的线段怎样短,总可以在较长的线段上连续截取较短的线段,并且截到某一次以后,必出现下面两种情况:
1:没有剩余;
2:得到一条短于较短线段的剩余线段。
这就是“阿基米德公理”有时也叫阿基米德-欧多克斯公理,因为阿基米德把这个命题归功于欧多克斯。其实,比欧多克斯更早些,我国古代《墨经》上已记载着“穷,或有前不容尺也”,指的正是这个意思。
我自己的理解,给定长度,就可以用固定长度的尺子度量其全部长度。
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