[Algorithm]扔杯问题

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问题:

有一种玻璃杯需要检测质量。正好有一幢100层的高楼，该种玻璃杯从某一层楼扔下，刚好会碎。

现给你两个玻璃杯，问如何检测出这个杯子的质量，即找到这种玻璃杯在哪一层楼刚好会碎？

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思路历程：

因为只有两个玻璃杯，而且会摔碎，只能从区间中往上找，不能往下找，所以不能用二分法。

用一个杯子定区间，另一个杯子定位置，关键在于区间怎么划分呢？

比较常见的思路：先等分区间的扔，再在区间中一层一层地扔，隐含着分段查找的策略。

具体操作方式：

[1...100]分为10个区间，先从第10楼扔杯，再从第20楼扔杯，依次杯扔去，如果到某一层碎掉，

比如60层碎掉了，我再从51楼开始扔，这样的话应该是比较快了吧？

这个方法快一点不过如果杯子的质量比较好，在99楼才会刚好碎掉。

这样最差的情况下，需要扔（10+9）次才能找到目标楼层。

继续思考刚才方法的缺陷，当杯子质量比较差的时候，此方法还是比较快速的找到楼层。

比如杯子是在19楼刚好碎，我只需要扔11次，

所以我们的愿望是：杯子的质量无论分布在哪个查找区间，都可以快速地找到。

所以想到的是可以“匀”一下刚才的思路方法。

即：最开始时大胆地扔，然后再慢慢小心地扔。在扔的过程中逐渐缩小范围。

具体方法设计：

每次扔的区间减少一层，这样做可以保证每个区间查找的最差次数是一样的。

那么最开始在哪一层开始扔呢？

列出方程：x+(x-1)+(x-2)+...+2 >=100

解出： x = 14。

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解决方案：

第一个杯子：扔的层数依次是：14、（14+13）、（14+13+12）、（14+13+12+11）、......

第二个杯子：从当前碎掉杯子区间的上一个区间。比如第一个杯子是在第四个区间即50层碎掉。

则第二个杯子从第三个区间的第二个元素开始扔，即从40层开始扔。就能找到刚好碎掉的楼层。

期望：

0.14*7.5+0.13*8+0.12*8.5+0.11*9+0.1*9.5+0.09*10+0.08*10.5+0.07*11+0.06*11.5+0.05*12+0.04*12.5+0.01*12 ＝ 9.47（次）