【费用流】P2517 [HAOI2010]订货

P2517 [HAOI2010]订货

思路：

（为啥这题不用拆点而UVA11613 Acme Corporation需要？两道题有什么共同点和区别？）

从这题可以窥见费用流问题的总体模型：有进有出，进出口在网络两端（超级源和超级汇），网络内部通过各种约束关系关联起来。

本题中，进就是每个月\(i\)进货，费用为\(D_i\)，且没有限制进货数量故可以无限进货，所以是一条容量为INF且单位费用为\(D_i\)的边，故建边addf(s, i, INF, p)

出就是每个月\(i\)销售，销售没有费用，但有需求量的限制，超过需求量是卖不出去的，所以是一条容量为\(U_i\)（代码中为p）且单位费用为\(0\)的边，建边addf(i, t, p, 0)

除第\(n\)个月外，每个月卖不完的货可以存储到仓库中，等到下个月再卖，仓库容量为\(vol\)，单位存储费用为\(cost\)，故除第\(n\)个月外每个月\(i\)向下一个月\(i+1\)连边，容量为\(vol\)，费用为\(cost\)，建边addf(i, i + 1, vol, cost)

然后跑最小费用最大流即可。

int cnt_e = 0, head[maxn], n, m;
int s, t;
LL dis[maxn], d[maxn];
int pre[maxn];
bool inq[maxn];
LL maxflow, mincost;

void addf(int u, int v, LL w, LL c) {
    //费用流建图
    e[++cnt_e].next = head[u]; e[cnt_e].from = u; e[cnt_e].to = v; e[cnt_e].w = w; e[cnt_e].cost = c; head[u] = cnt_e;
    e[++cnt_e].next = head[v]; e[cnt_e].from = v; e[cnt_e].to = u; e[cnt_e].w = 0; e[cnt_e].cost = -c; head[v] = cnt_e;
}

bool spfa() {
    queue<int> q;
    mem(dis, INF);
    mem(d, 0);
    mem(inq, 0);
    q.push(s); dis[s] = 0; inq[s] = 1;
    d[s] = INF;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        inq[u] = 0; q.pop();
        for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
            if (e[i].w <= 0) continue;
            int v = e[i].to;
            if (dis[u] + e[i].cost < dis[v]) {
                dis[v] = dis[u] + e[i].cost;
                //费用最短路
                pre[v] = i;
                d[v] = min(d[u], e[i].w);
                //维护路径上的最小残量
                if (!inq[v]) {
                    inq[v] = 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    if (!d[t]) return 0;
    return 1;
}

void MCMF() {
    while (spfa()) {
        for (int x = t; x != s; x = e[pre[x] ^ 1].to) {
            e[pre[x]].w -= d[t];
            e[pre[x] ^ 1].w += d[t];
        }
        maxflow += d[t];
        mincost += d[t] * dis[t];
        //流量乘上最小单位流量费用即总流量费用
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int cost, vol;
    cnt_e = 1;
    cin >> n >> cost >> vol;
    s = n + 1; t = n  + 2;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int p; cin >> p;
        addf(i, t, p, 0);
        //需求量为p，最多卖掉p，故容量p
        //卖出不需要花费，费用为0
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int p; cin >> p;
        addf(s, i, INF, p);
        //可以无限进货，故容量INF
        //进价为p，费用为p
    }
    //左点连右点，容量vol，费用为cost
    //在相邻的月间连，不是两两之间都连qwq
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        addf(i, i + 1, vol, cost);
    }
    MCMF();
    cout << mincost;
    return 0;
}