【最小割+割点转换】[USACO5.4]奶牛的电信Telecowmunication

[USACO5.4]奶牛的电信Telecowmunication

思路

最小割模型。但需要注意的是本题要割掉的是点而不是边，直接跑最大流板子是不行的。

为了将删点转化为删边，只需将原图中每个点拆分成入点\(i\)和出点\(i+n\)，原图中所有指向点\(i\)的边都应指向入点\(i\)，原图中所有从点\(i\)出发的边都应该从点\(i+n\)出发，而入点\(i\)与出点\(i+n\)内部连一条\(i→i+n\)，边权为1的边即可。这样，删除这条内部的边，就等价于在原图上删去这个点。

由于源点和汇点是不可删的，\(s→s+n\)和\(t→t+n\)的边权都应为\(INF\)。

至于原图上的边只是为了体现连通性，在新图中边权一律为\(INF\)即可。

最后，因为跑最大流时实际跑的点有\(2n\)这么多，记得在板子里把用到\(n\)的地方都改一改。

void addn(int&cnt_e, int head[], Edge e[], int u, int v, LL w) {
    //网络流建图
    e[++cnt_e].next = head[u]; e[cnt_e].from = u; e[cnt_e].to = v; e[cnt_e].w = w; head[u] = cnt_e;
    e[++cnt_e].next = head[v]; e[cnt_e].from = v; e[cnt_e].to = u; e[cnt_e].w = 0; head[v] = cnt_e;
}

int cnt_e = 0, head[maxn], n, m;
int s, t;
int cur[maxn], depth[maxn], gap[maxn];
LL Maxflow = 0;

void bfs() {
    mem(depth, -1);
    mem(gap, 0);
    depth[t] = 0;
    gap[0] = 1;
    cur[t] = head[t];
    queue<int> q;
    q.push(t);
    while (q.size()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to;
            if (depth[v] != -1) continue;
            q.push(v);
            depth[v] = depth[u] + 1;
            gap[depth[v]]++;
        }
    }
    return;
}

LL dfs(int now, LL minflow,int n) {
    if (now == t) {
        Maxflow += minflow;
        return minflow;
    }
    LL nowflow = 0;
    for (int i = cur[now]; i; i = e[i].next) {
        cur[now] = i;
        int v = e[i].to;
        if (e[i].w && depth[v] + 1 == depth[now]) {
            LL k = dfs(v, min(e[i].w, minflow - nowflow), n);
            if (k) {
                e[i].w -= k;
                e[i ^ 1].w += k;
                nowflow += k;
            }
            if (minflow == nowflow) return nowflow;
        }
    }
    gap[depth[now]]--;
    if (!gap[depth[now]]) depth[s] = n + 1;
    depth[now]++;
    gap[depth[now]]++;
    return nowflow;
}

LL ISAP(int n) {
    Maxflow = 0;
    bfs();
    while (depth[s] < n) {
        memcpy(cur, head, sizeof(head));
        dfs(s, INF, n);
    }
    return Maxflow;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m >> s >> t;
    cnt_e = 1;
    f(i, 1, n) {
        if (i == s || i == t) addn(cnt_e, head, e, i, i + n, INF);
        //题面不严谨，没有明确指出c1和c2不能删去，但程序里需要体现这一点
        //把c1和c2拆出来的入点和出点之间连一条边权INF的边，就意味着不能删去了
        else addn(cnt_e, head, e, i, i + n, 1);
    }
    f(i, 1, m) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        addn(cnt_e, head, e, u+n, v, INF);
        addn(cnt_e, head, e, v+n, u, INF);
    }
    cout<<ISAP(n*2);
    //注意因为本题中拆了点，实际用到的点有n*2这么多，跑最大流的时候记得改
    return 0;
}