数据结构学习笔记——ST表

ST表

导入

RMQ（Range Mininum/Maxnum Query）：即区间最值查询。对于长度为\(N\)的数组\(A\)，有若干次询问\(RMQ(i,j)\)，回答下标区间\([i,j]\)内的最大/最小值。

ST表可以很好地解决此类问题，预处理复杂度\(O(NlogN)\)，查询\(O(1)\)。

预处理

设\(A[i]\)是要求区间最值的数组，\(F[i][j]\)表示从第\(i\)个数起连续\(2^j\)个数中的最大值。

显然初始化时要令\(F[i][0]=A[i]\)。

除初始状态外，\(F[i][j]\)表示的区间必有偶数个数字。将其均分为两段，一段为\(F[i][j-1]\)，另一段为\(F[i+2^{j-1}][j-1]\)。注意两段均包含\(2^{j-1}\)个数字。

则状态转移方程（以求区间最大值为例）

\[F[i][j]=max(F[i][j-1],F[i+2^{j-1}][j-1]) \]

从而预处理出数组中所有长度为\(2^j\)\((j=0,1...log_2N（向下取整）)\)的区间上的最值。

    //其实就是区间DP
	for (int j = 1; j <= lg[n]; j++) {
        //枚举区间长度
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            //枚举左端点i，区间长度为1<<j，则右端点就是i+(1<<j)-1，显然右端点不能超过n
            f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }

查询

假设需要查询的区间为\([l,r]\)，注意到区间重复是不影响结果的。如查询\([1,5]\)，则查询\(F[1][2]\)（区间\([1,4]\)的最大值）和\(F[2][2]\)（区间\([2,5]\)的最大值）即可。

换句话说，我们需要找到一个合适的\(k\)，使得从\(l\)起往右\(2^k\)个数不会超过\(r\)，且从\(r\)起往左\(2^k\)个数不会超过\(l\)，这样就可以从\(F[l][k]\)和\(F[r-2^k+1][k]\)中得到区间\([l,r]\)的最值。

这个\(k\)显然和区间长度有关。查询区间的长度为\(r-l+1\)，取\(k=log_2(l-r+1)\)（向下取整），则这个\(k\)就是我们要找的合适的\(k\)。

则有：

\[RMQ(l,r)=max(F[l][k],F[r-2^k+1][k]) \]

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int l, r; cin >> l >> r;
        int k = lg[r - l + 1];
        cout << max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
    }

另外\(log_2i\)的值同样可以预处理得出。（和倍增LCA的lg预处理不一样，不要混淆！这里是真正的\(log_2i\)，那边是\(log_2i+1\)）

    lg[0] = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        lg[i] = lg[i / 2] + 1;
    }

完整代码

const int maxn = 1e5 + 100;
int a[maxn], f[maxn][22], lg[maxn];
int main() {
    lg[0] = -1;
    n = read(); m = read();
    //洛谷模板题时间卡得很紧，全部用快读
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = read();
        lg[i] = lg[i / 2] + 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i][0] = a[i];
    }
    for (int j = 1; j <= lg[n]; j++) {
        //枚举区间长度
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            //枚举左端点i，区间长度为1<<j，则右端点就是i+(1<<j)-1，显然右端点不能超过n
            f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int l, r;
        l = read(); r = read();
        int k = lg[r - l + 1];
        printf("%d\n", max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]));
    }
    return 0;
}