图论学习笔记——强连通分量/双连通分量
预备知识
- 强连通：对于图\((V,E)\)上的两个顶点\(u,v\)，若存在从\(u\)到\(v\)的有向路径，同时也存在从\(v\)到\(u\)的有向路径，（注意有路径即可，也就是允许有中间顶点）则称这两个顶点强连通。
- 强连通图：若图\((V,E)\)上的任意两个顶点都强连通，则称这个图为强连通图。
- 强连通分量：有向图的极大强连通子图
强连通分量（SCC，Strongly Connected Components）
求强连通分量（Tarjan算法）
\(dfn[i]:=\) 顶点\(i\)在搜索过程中的次序编号（时间戳），即记录顶点\(i\)是第几个被搜索到的顶点。
\(low[i]:=\) 顶点\(u\)及其后代顶点所能追溯到的最早的顶点（即祖先顶点）\(v\)的时间戳\(dfn[v]\)。当顶点\(u\)第一次被搜索到时，初始化为low[i]=dfn[i].
int dfs_clock, scc_cnt;
int dfn[maxn], low[maxn], sccno[maxn];
void dfs(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++dfs_clock;
//给顶点u打上时间戳
s.push(u);
for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (!dfn[v]) {
//顶点v还没被搜索到
dfs(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
//维护祖先中最小的时间戳
}
else if (!sccno[v]) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
//顶点v已经被搜索过了，但还不属于某一个SCC
}
}
//对顶点u的所有后代顶点完成搜索之后
//开始判断顶点u是不是这个强连通分量中第一个出现的顶点
if (low[u] == dfn[u]) {
scc_cnt++;
//SCC数量+1
while (1) {
int x = s.top(); s.pop();
sccno[x] = scc_cnt;
//给分量中的所有顶点记录所在SCC的编号
if (x == u) break;
//访问完u之后，就完成了对这个SCC所有顶点的访问，跳出
}
}
}
void find_scc(int n) {
dfs_clock = scc_cnt = 0;
mem(sccno, 0);
mem(dfn, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!dfn[i]) dfs(i);
}
}
缩点
顾名思义，将图中的强连通分量看作是一个点，就是缩点。同时原图变为一个DAG，如此便可以将一个有环的图转化为DAG，可以利用DAG的性质解决问题。
问题一：给定一个有向图\((V,E)\)，包含\(n\)个点和\(m\)条边，问至少还要再添加多少条边才能使整个图变成强连通图。
对于DAG，这个问题的答案是\(max(a,b)\)，其中\(a\)是入度为零的顶点个数，\(b\)是出度为零的顶点个数。特别地，如果DAG中只有一个点，则答案为0。但问题中给出的图不一定无环，此时就可以用缩点的方法将图转化为DAG。
问题二：给定一个有向图\((V,E)\)，包含\(n\)个点和\(m\)条边，每个点有一个权值。求一条路径，使得路径上点的权值和最大。允许多次经过一条边或一个点，但权值只计算一次。
对于DAG，这个问题就是求DAG上的最长路，用DAG上的dp即可解决。定义\(dp[i]\)为从顶点\(i\)出发的路径的最大权值和，则转移方程为\(dp[i]=max(dp[i],dp[j]+val[i])\)，其中顶点\(j\)满足：存在\(i→j\)的有向边。
需要注意的是，在方程中需要先求出\(dp[j]\)，才能用它来更新\(dp[i]\)。具体代码实现有两种方法：
- 记忆化搜索；
- 先求图的拓扑排序，再以拓扑排序的倒序进行dp。
题目给定的图可能有环，只需对原图求强连通分量，缩点，建立新图，则新图就是DAG。
