OpenGL投影矩阵推导

概述#

计算机显示器是一个2D平面。OpenGL渲染时必须将一个3D的场景投影在屏幕上成为一个2D的图片。GL_PROJECTION矩阵的就是用作这种投影变换。首先，其将所有的顶点数据从视觉坐标系（眼坐标系）转化到裁剪空间。然后，通过除以裁剪坐标系中的w分量，将转化后的裁剪坐标变换成标准设备坐标系（NDC）。

因此，我们必须记住GL_PROJECTION集成了裁剪和转化成标准设备坐标系的功能。下面的模块讲述了，如何从以下6个参数建立投影矩阵：left、right、bottom、top、near和far等边界值。

需要注意的是，裁剪空间中的平头截体的裁剪过程发生在，除以 $w_{c}$ 分量之前。将裁剪坐标 $x_{c}$ , $y_{c}$ 和 $z_{c}$ 和 $w_{c}$ 进行比较，如果其中任意一个值小于 $w_{c}$ 或者大于 $w_{c}$ ，那么这个顶点将会被裁剪掉，渲染时会丢弃这个顶点。

- w_{c} < x_{c}, y_{c}, z_{c} < w_{c}

$-w_{c}<x_{c}, y_{c}, z_{c}<w_{c}$

当裁剪发生时，OpenGL会重新构建裁剪的边界和边线。

透视投影#

在透视投影时，裁剪截体是一个锥形的，然后被映射到标准设备坐标系中（一个立方体），NDC的x、y和z轴的范围都是从-1至+1。

注意，视觉坐标系是右手坐标系，而NDC使用的是左手坐标系，它们的z值方向是相反的，在视觉坐标系中，摄像机在原点，观察方向为z轴的负值方向，但是在NDC中，摄像机的观察方向却是z轴的正值方向。因此，glFrustum()的near和far参数必须大于0，所以在构建GL_PROJECTION矩阵时，我们必须对它们取反。

在 OpenGL 中，视觉空间中的 3D 点被投影到近平面（投影平面）上。下图显示了视觉空间中的一个点 $\left(x_{e}, y_{e}\right.$ ， $z_{e}$ ) 是如何在近平面上投影到 $\left(x_{p}, y_{p}, z_{p}\right)$ 的。

从视雉体的顶视图，眼睛空间的 $x$ 坐标， $x_{e}$ 映射到 $x_{p}$ ，这是通过使用相似三角形的相似计算的;

\begin{aligned} \frac{x_{p}}{x_{e}} & = \frac{- n}{z_{e}} \\ x_{p} & = \frac{- n \cdot x_{e}}{z_{e}} = \frac{n \cdot x_{e}}{- z_{e}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{x_{p}}{x_{e}} &=\frac{-n}{z_{e}} \\ x_{p} &=\frac{-n \cdot x_{e}}{z_{e}}=\frac{n \cdot x_{e}}{-z_{e}} \end{aligned}$

从视锥体的侧视图来看， $y_{p}$ 也以类似的方式计算;

\begin{aligned} \frac{y_{p}}{y_{e}} & = \frac{- n}{z_{e}} \\ y_{p} & = \frac{- n \cdot y_{e}}{z_{e}} = \frac{n \cdot y_{e}}{- z_{e}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{y_{p}}{y_{e}} &=\frac{-n}{z_{e}} \\ y_{p} &=\frac{-n \cdot y_{e}}{z_{e}}=\frac{n \cdot y_{e}}{-z_{e}} \end{aligned}$

注意 $x_{p}$ 和 $y_{p}$ 都依赖于 $z_{e}$ ; 它们与 $-z_{e}$ 呈反比。换句话说，它们都被 $-z_{e}$ 除以。这是构建GLPROJECTION矩阵的第一个线索。当视觉坐标系的坐标通过乘以GLPROJECTION矩阵转化成裁剪坐标，转化后的裁剪坐标任然是一个齐次坐标。最后通过除以w分量，转化成标准设备坐标系（NDC）。（可以在OpenGL变换中了解更多细节。）

(\begin{matrix} x_{clip} \\ y_{clip} \\ z_{clip} \\ w_{clip} \end{matrix}) = M_{p r o j e c t i o n} \cdot (\begin{matrix} x_{eye} \\ y_{eye} \\ z_{eye} \\ w_{eye} \end{matrix}), (\begin{array}{l} x_{ndc} \\ y_{ndc} \\ z_{ndc} \end{array}) = (\begin{array}{l} x_{clip} / w_{clip} \\ y_{clip} / w_{clip} \\ z_{clip} / w_{clip} \end{array})

$\left(\begin{array}{c} x_{\text {clip }} \\ y_{\text {clip }} \\ z_{\text {clip }} \\ w_{\text {clip }} \end{array}\right)=M_{p r o j ection } \cdot\left(\begin{array}{c} x_{\text {eye }} \\ y_{\text {eye }} \\ z_{\text {eye }} \\ w_{\text {eye }} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} x_{\text {ndc }} \\ y_{\text {ndc }} \\ z_{\text {ndc }} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x_{\text {clip }} / w_{\text {clip }} \\ y_{\text {clip }} / w_{\text {clip }} \\ z_{\text {clip }} / w_{\text {clip }} \end{array}\right)$

因此，我们可以将剪辑坐标的 $w$ 分量设置为 $-z_{e^{\circ}}$ 并且，矩阵GL_PROJECTION 4 变为 $(0,0,-1,0)$ 。

(\begin{matrix} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\ w_{c} \end{matrix}) = (\begin{array}{cccc} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}) (\begin{matrix} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ w_{e} \end{matrix}), ∴ w_{c} = - z_{e}

$\left(\begin{array}{c} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\ w_{c} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ w_{e} \end{array}\right), \quad \therefore w_{c}=-z_{e}$

接下来，我们将 $x_{p}$ 和 $y_{p}$ 映射到具有线性关系的 $N D C$ 的 $x_{n}$ 和 $y_{n }$ 。 $[1, r] \Rightarrow[-1,1]$ 和 $[b, t] \Rightarrow[-1,1]$

然后，我们将 $x_{p}$ 和 $y_{p}$ 替换为上述方程。

请注意，我们使每个方程的两个项都可以被 $-\mathrm{z}_{\mathrm{e}}$ 整除以进行透视除法 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{C}} / \mathrm{w}_{\mathrm{C}}, \mathrm{y}_{\mathrm{C}} / \mathrm{w}_{\mathrm{C}}\right)$ 。我们之前将 $\mathrm{w}_{\mathrm{c}}$ 设置为 $-\mathrm{z}_{\mathrm{e}}$ , 括号内的术语将变为剪辑坐标的 $x_{c}$ 和 $y_{c}$

通过这些等式，我们可以得出GL_PROJECTION矩阵的第一行和第二行。

(\begin{array}{l} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\ w_{c} \end{array}) = (\begin{array}{cccc} \frac{2 n}{r - l} & 0 & \frac{r + l}{r - l} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t - b} & \frac{t + b}{t - b} & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}) (\begin{matrix} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ w_{e} \end{matrix})

$\left(\begin{array}{l} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\ w_{c} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \frac{2 n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ w_{e} \end{array}\right)$

现在，我们只有第 3 行GL_PROJECTION矩阵要求解。找到 $z_{n}$ 与其他的有点不同，因为眼睛空间中的 $z_{e}$ 总是在近平面上投影到 $-n$ 。但是我们需要唯一的 $z$ 值来进行裁剪和深度测试。另外，我们应该能够取消投影 (逆变换) 它。由于我们知道 $z$ 不依赖于 $x$ 或 $y$ 值，因此我们借用 $w$ 分量来查找 $z_{n}$ 和 $z_{e}$ 之间的关系。因此，我们可以像这样指定

(\begin{matrix} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\ w_{c} \end{matrix}) = (\begin{array}{cccc} \frac{2 n}{r - l} & 0 & \frac{r + l}{r - l} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t - b} & \frac{t + b}{t - b} & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{l} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ w_{e} \end{array})

$\left(\begin{array}{c} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\ w_{c} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \frac{2 n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{e} \\ y_{e} \\ z_{e} \\ w_{e} \end{array}\right)$

z_{n} = z_{c} / w_{c} = \frac{A z_{e} + B w_{e}}{- z_{e}}

$z_{n}=z_{c} / w_{c}=\frac{A z_{e}+B w_{e}}{-z_{e}}$

在视觉空间中， $w_{e}$ 等于 1 。因此，等式变为;

z_{n} = \frac{A z_{e} + B}{- z_{e}}

$z_{n}=\frac{A z_{e}+B}{-z_{e}}$

为了找到系数 $A$ 和 $B$ ，我们使用 $\left(z_{e}, z_{n}\right)$ 关系; $(-n,-1)$ 和 $(-f, 1)$ ，并将它们放入上面的等式中。

{\begin{cases} \frac{- A n + B}{n} = - 1 \\ \frac{- A f + B}{f} = 1 \end{cases} \to {\begin{cases} - A n + B = - n \\ - A f + B = f \end{cases}

$\left\{\begin{array} { l } { \frac { - A n + B } { n } = - 1 } \\ { \frac { - A f + B } { f } = 1 } \end{array} \quad \rightarrow \left\{\begin{array}{l} -A n+B=-n \\ -A f+B=f \end{array}\right.\right.$

为了求解A和B的方程，重写方程（1）为B

B = A n - n

$B=A n-n$

将方程（1'）替换为方程（2）中的B，然后求解A;

\begin{aligned} - A f + (A n - n) & = f \\ - (f - n) A & = f + n \\ A & = - \frac{f + n}{f - n} \end{aligned}

$\begin{aligned} -A f+(A n-n)&=f \\ -(f-n) A&=f+n \\ A&=-\frac{f+n}{f-n} \end{aligned}$

将A放入方程（1）中以查找B;

\begin{aligned} (\frac{f + n}{f - n}) n + B & = - n \\ B & = - n - (\frac{f + n}{f - n}) n = - (1 + \frac{f + n}{f - n}) n = - (\frac{f - n + f + n}{f - n}) n \\ = - \frac{2 f n}{f - n} \end{aligned}

$\begin{aligned} \left(\frac{f+n}{f-n}\right) n+B&=-n \\ B &=-n-\left(\frac{f+n}{f-n}\right) n=-\left(1+\frac{f+n}{f-n}\right) n=-\left(\frac{f-n+f+n}{f-n}\right) n \\ &=-\frac{2 f n}{f-n} \end{aligned}$

我们找到了 $A$ 和 $B$ 。因此， $z_{e}$ 和 $z_{n}$ 之间的关系变为;

z_{n} = \frac{- \frac{f + n}{f - n} z_{e} - \frac{2 f n}{f - n}}{- z_{e}}

$z_{n}=\frac{-\frac{f+n}{f-n} z_{e}-\frac{2 f n}{f-n}}{-z_{e}}$

最后，我们找到了GL_PROJECTION矩阵的所有条目。完整的投影矩阵是

(\begin{array}{cccc} \frac{2 n}{r - l} & 0 & \frac{r + l}{r - l} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t - b} & \frac{t + b}{t - b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{- (f + n)}{f - n} & \frac{- 2 f n}{f - n} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array})

$\left(\begin{array}{cccc} \frac{2 n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} & \frac{-2 f n}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$

此投影矩阵适用于一般视雉体。如果观看体积是对称的，即 $r=-l$ 和 $t=-b$ ，则可以将其简化为;

{\begin{cases} r + l = 0 \\ r - l = 2 r (width) \end{cases}, {\begin{cases} t + b = 0 \\ t - b = 2 t (height) \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l} r+l=0 \\ r-l=2 r \text { (width) } \end{array} \quad, \quad\left\{\begin{array}{l} t+b=0 \\ t-b=2 t \text { (height) } \end{array}\right.\right.$

(\begin{array}{cccc} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{- (f + n)}{f - n} & \frac{- 2 f n}{f - n} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array})

$\left(\begin{array}{cccc} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} & \frac{-2 f n}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$

在我们继续之前，请再次看一下 $z_{\mathrm{e}}$ 和 $z_{\mathrm{n}}$ 之间的关系。您注意到它是一个有理函数，并且是 $z_{\mathrm{e}}$ 和 $z_{\mathrm{n}}$ 之间的非线性关系。这意味着在近平面上具有非常高的精度，但在远端平面上的精度非常低。如果范围 $[-n,-f]$ 变大，则会导致深度精度问题（z-fighting）; $z_{e}$ 在远平面周围的微小变化不会影响 $z_{n}$ 值。所以n和f的差值尽量小，以尽量减少深度缓冲区精度问题。

正交投影#

眼球空间中所有的 $x_{e} 、 y e$ 和 $z_{e}$ 分量都线性映射到 NDC。我们只需要将矩形体积缩放到立方体，然后将其移动到原点。让我们找出使用线性关系GL_PROJECTION的元素。

因为正射投影不需要w分量，所以矩阵的第四行仍然为(0, 0, 0, 1)。因此完整的GL_PROJECTION正射投影矩阵如下：

(\begin{array}{cccc} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & - \frac{r + l}{r - l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & - \frac{t + b}{t - b} \\ 0 & 0 & \frac{- 2}{f - n} & - \frac{f + n}{f - n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

$\left(\begin{array}{cccc} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

如果观看体积对称，则可以进一步简化它， $r=-l$ 并且 $t=-b$ 。

{\begin{cases} r + l = 0 \\ r - l = 2 r (width) \end{cases}, {\begin{cases} t + b = 0 \\ t - b = 2 t (height) \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l} r+l=0 \\ r-l=2 r \text { (width) } \end{array} \quad,\left\{\begin{array}{l} t+b=0 \\ t-b=2 t \text { (height) } \end{array}\right.\right.$

结果

(\begin{array}{cccc} \frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{- 2}{f - n} & - \frac{f + n}{f - n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

$\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

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