后缀数组(SA)备忘
两个让我真正理解代码的资料：
2009集训队论文 网上的经典应用都是从里面抄的，还把解释给去掉了。。。真事屑
这篇博客 代码注释特别好
桶排换成快排的代码，便于理解算法思想
，这里面要减去k的原因是 sa[i] 作为 sa[i]-k 的第二关键字
循环中m=x说明所有后缀长度为x的子串已经排好，要长度为更新2m的答案
"y[i]表示第二关键字排名为i的数，第一关键字的位置"
trick：
如果s[i]太大可以先离散化一下
本质不同的子串个数 = \(\frac{n\times (n+1)}{2}\) - height数组的和
get_SA里的Y和rnk每次用完要清零 否则多组数据会出锅，字符串n+1位置记得弄成0
倒过来建SA可以实现一些例如查LCS之类的操作
把字符串拼起来建SA可以同时比较多个字符串的后缀，中间用不同的分隔符隔开（注意爆char）
struct SA {
int k, sa[N], rnk[N], H[N], st[N][17];
char s[N];
bool cmp(int *y, int a, int b, int m) {return y[a] == y[b] && y[a + m] == y[b + m];}
void Sort(int *x, int *y, int *rk) {
static int C[N];
for (int i = 0; i <= k; ++i) C[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) ++C[rk[i]];
for (int i = 1; i <= k; ++i) C[i] += C[i - 1];
for (int i = n; i; --i) y[C[rk[x[i]]]--] = x[i];
}
void get_SA() {
static int Y[N];
int *y = Y, *rk = rnk;
k = 128;
for (int i = 1; i <= n; ++i) rk[i] = s[y[i] = i];
Sort(y, sa, rk);
for (int m = 1, p = 0; p < n; k = p, m <<= 1) {
for (p = 0; p < m; ++p) y[p + 1] = n - m + p + 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (sa[i] > m) y[++p] = sa[i] - m;
Sort(y, sa, rk), swap(rk, y);
rk[sa[p = 1]] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) rk[sa[i]] = cmp(y, sa[i], sa[i - 1], m) ? p : ++p;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) rnk[sa[i]] = i, Y[i] = 0;
}
void get_H() {
for (int i = 1, k = 0; i <= n; H[rnk[i++]] = k)
for (k ? --k : 0; s[i + k] == s[sa[rnk[i] - 1] + k]; ++k);
for (int i = 2; i <= n; ++i) st[i][0] = H[i];
for (int j = 1; j <= __lg(n); ++j)
for (int i = 2; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
st[i][j] = min(st[i][j - 1], st[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}
void clear() {
memset(rnk, 0, sizeof rnk);
}
int lcp(int x, int y) {//求后缀x和y的lcp
x = rnk[x], y = rnk[y];
if (x > y) swap(x, y);
++x;
int k = __lg(y - x + 1);
return min(st[x][k], st[y - (1 << k) + 1][k]);
}
};
求height复杂度一句话证明：k减小O(n)次，增加O(n)次
下文引自ID为远航之曲 （blog已经挂掉了）神犇的博客
我们先把要证什么放在这：对于第i个后缀，设j=sa[rank[i] – 1]，也就是说j是i的按排名来的上一个字符串，按定义来i和j的最长公共前缀就是height[rank[i]]，我们现在就是想知道height[rank[i]]至少是多少，而我们要证明的就是至少是height[rank[i-1]]-1。
好啦，现在开始证吧。
首先我们不妨设第i-1个字符串（这里以及后面指的“第?个字符串”不是按字典序排名来的，是按照首字符在字符串中的位置来的）按字典序排名来的前面的那个字符串是第k个字符串，注意k不一定是i-2，因为第k个字符串是按字典序排名来的i-1前面那个，并不是指在原字符串中位置在i-1前面的那个第i-2个字符串。
这时，依据height[]的定义，第k个字符串和第i-1个字符串的公共前缀自然是height[rank[i-1]]，现在先讨论一下第k+1个字符串和第i个字符串的关系。
第一种情况，第k个字符串和第i-1个字符串的首字符不同，那么第k+1个字符串的排名既可能在i的前面，也可能在i的后面，但没有关系，因为height[rank[i-1]]就是0了呀，那么无论height[rank[i]]是多少都会有height[rank[i]]>=height[rank[i-1]]-1，也就是h[i]>=h[i-1]-1。
第二种情况，第k个字符串和第i-1个字符串的首字符相同，那么由于第k+1个字符串就是第k个字符串去掉首字符得到的，第i个字符串也是第i-1个字符串去掉首字符得到的，那么显然第k+1个字符串要排在第i个字符串前面，要么就产生矛盾了。同时，第k个字符串和第i-1个字符串的最长公共前缀是height[rank[i-1]]，那么自然第k+1个字符串和第i个字符串的最长公共前缀就是height[rank[i-1]]-1。
到此为止，第二种情况的证明还没有完，我们可以试想一下，对于比第i个字符串的字典序排名更靠前的那些字符串，谁和第i个字符串的相似度最高（这里说的相似度是指最长公共前缀的长度）？显然是排名紧邻第i个字符串的那个字符串了呀，即sa[rank[i]-1]。也就是说sa[rank[i]]和sa[rank[i]-1]的最长公共前缀至少是height[rank[i-1]]-1，那么就有height[rank[i]]>=height[rank[i-1]]-1，也即h[i]>=h[i-1]-1。
