【CF1586F】Defender of Childhood Dreams

题目

题目链接：https://codeforces.com/contest/1586/problem/F
一张 \(n\) 个点的竞赛图，所有边都是从编号小的点连向编号大的点。
如果需要给每条边染上色，求最少需要多少种颜色，使得存在一种染色方法，不存在长度为 \(k\) 的路径都是同一种颜色。
\(k<n\leq 1000\)。

思路

首先考虑怎么挑出若干条边染上第一种颜色。
把 \(n\) 个点分为 \(k\) 个连续段，每一段大小均为 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\) 或 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor+1\)。然后对于在两个不同段的点，把他们之间的边设为第一种颜色。
这样从任意点开始，最多只能走 \(k-1\) 条颜色为 \(1\) 的路。
而对于每一个段，都是原问题的一个子问题。直接递归处理，这样最后使用的颜色数是 \(\lceil\log_k n\rceil\) 的。
具体实现方面，可以把 \(0\sim n-1\) 的所有数都转化为 \(k\) 进制，然后对于一条边 \(x,y\)，判断 \(x-1\) 和 \(y-1\) 在 \(k\) 进制下最高是哪一位不同，染上那一位的颜色即可。
注意是 \(0\sim n-1\)，我考场写成了 \(1\sim n\) 然后挂掉了。
时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;

const int N=1010,LG=12;
int n,m,lim,a[N][LG+1],pw[LG+1];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	pw[0]=1;
	for (;pw[lim]<n;lim++) pw[lim+1]=pw[lim]*m;
	for (int i=0;i<n;i++)
		for (int j=0;j<=lim;j++)
			a[i][j]=(i/pw[j])%m;
	for (int i=0;i<=lim;i++)
		if (n<=pw[i]) { cout<<i<<"\n"; break; }
	for (int i=0;i<n;i++)
		for (int j=i+1;j<n;j++)
			for (int k=lim;k>=0;k--)
				if (a[j][k]>a[i][k]) { cout<<k+1<<" "; break; }
	return 0;
}