【洛谷P4383】林克卡特树

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4383
小 L 最近沉迷于塞尔达传说：荒野之息（The Legend of Zelda: Breath of The Wild）无法自拔，他尤其喜欢游戏中的迷你挑战。
游戏中有一个叫做 LCT 的挑战，它的规则是这样子的：现在有一个 \(N\) 个点的树，每条边有一个整数边权 \(v_i\)，若 \(v_i \geq 0\)，表示走这条边会获得 \(v_i\) 的收益；若 \(v_i \lt 0\) ，则表示走这条边需要支付 \(-v_i\) 的过路费。小 L 需要控制主角 Link 切掉（Cut）树上的恰好 \(K\) 条边，然后再连接 \(K\) 条边权为 0 的边，得到一棵新的树。接着，他会选择树上的两个点 \(p,q\)，并沿着树上连接这两点的简单路径从 \(p\) 走到 \(q\)，并为经过的每条边支付过路费/ 获取相应收益。
海拉鲁大陆之神 TemporaryDO 想考验一下 Link。他告诉 Link，如果 Link 能切掉合适的边、选择合适的路径从而使 总收益 - 总过路费 最大化的话，就把传说中的大师之剑送给他。
小 L 想得到大师之剑，于是他找到了你来帮忙，请你告诉他，Link 能得到的 总收益 - 总过路费 最大是多少。
\(n,k\leq 3\times 10^5\)，\(|v_i|\leq 10^6\)。

思路

问题等价于在树上选择 \(k\) 条不交路径，使得它们的权值之和最大。
设 \(f[x][i][0/1/2]\) 表示点 \(x\) 的子树内，选择了 \(i\) 条路径，其中点 \(x\) 相连的边选择了 \(0/1/2\) 条的最大权值和。
转移的话，就考虑新加入 \(x\) 的一个儿子 \(y\)，讨论一下这条边选不选就行了。时间复杂度 \(O(nk^2)\)。
这样显然过不了。题解愉快的告诉我们，随着 \(k\) 不断增大，\(f\) 是一个凸函数，直接上 WQS 二分。二元组 \(f[x][0/1/2]\) 表示点 \(x\) 的子树内，选择若干条路径，其中点 \(x\) 相连的边选择了 \(0/1/2\) 条的最大权值和，以及此时选择的路径最多是多少条。
至于为什么 \(f\) 是一个凸函数我也不清楚，反正出题人说是就是吧（什
时间复杂度 \(O(n\log (nV))\)。\(V\) 是值域。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=300010;
const ll Inf=1e18;
int n,m,tot,head[N];
ll ans;

struct edge
{
	int next,to,dis;
}e[N*2];

struct node
{
	ll a,b;
	
	friend node operator +(node x,node y)
	{
		return (node){x.a+y.a,x.b+y.b};
	}
}f[N][3];

node max(node x,node y)
{
	if (x.a>y.a) return x;
	if (x.a<y.a) return y;
	return (node){x.a,max(x.b,y.b)};
}

void add(int from,int to,int dis)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to,dis};
	head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fa,ll mid)
{
	f[x][0]=(node){0,0}; f[x][1]=(node){-Inf,0}; f[x][2]=(node){-mid,1};
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			dfs(v,x,mid);
			f[x][2]=max(f[x][2],f[x][2]+max(f[v][0],max(f[v][1],f[v][2])));
			f[x][2]=max(f[x][2],f[x][1]+max(f[v][0]+(node){e[i].dis,0},f[v][1]+(node){e[i].dis+mid,-1}));
			f[x][1]=max(f[x][1],f[x][1]+max(f[v][0],max(f[v][1],f[v][2])));
			f[x][1]=max(f[x][1],f[x][0]+max(f[v][1]+(node){e[i].dis,0},f[v][0]+(node){e[i].dis-mid,1}));
			f[x][0]=max(f[x][0],f[x][0]+max(f[v][0],max(f[v][1],f[v][2])));
		}
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	m++;
	for (int i=1,x,y,z;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z); add(y,x,z);
	}
	ll l=-3e11,r=3e11,mid;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		dfs(1,0,mid);
		node res=max(f[1][0],max(f[1][1],f[1][2]));
		if (res.b>=m) l=mid+1,ans=res.a+res.b*mid;
			else r=mid-1;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}