【洛谷P7738】量子通信

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P7738
小 Z 正在自学量子计算机相关知识，最近他在研究量子通信章节，并遇到了一个有趣的问题。在该问题中，Alice 和 Bob 正在进行量子通信，它们的通信语言是一个大小为 \(n\) 的字典 \(S\)，在该字典中，每一个单词 \(s_i\)（\(1 \le i \le n\)）都可以用一个 \(\boldsymbol{256}\) 位的 \(\boldsymbol{01}\) 串来表示。在本题中 \(s_i\) 可以通过调用函数 gen 来生成，选手可以在题目目录下的 gen.cpp 中查看，该函数的参数 n、a1、a2 将由输入数据给出。
Alice 和 Bob 接下来要进行 \(m\) 次通信，每次通信由 Alice 向 Bob 传输恰好一个字典中的单词。然而，两人使用的通信信道并不可靠，会受到噪音的干扰。更具体地，对于第 \(i\) 次传输，记 Alice 传输的原单词为 \(x_i\)，该 \(01\) 串会受噪音干扰而翻转最多 \(\boldsymbol{k_i}\) 位。换句话说，记 Bob 这次收到的 \(01\) 串为 \(y_i\)，它与 \(x_i\) 相比，可能有最多 \(k_i\) 位是不同的，并且 \(y_i\) 可能不在字典 \(S\) 中出现。
与此同时，Bob 得知坏人 Eve 也潜入了两人的通信信道，并准备干扰两人的通信。他的干扰方式是将 Bob 收到的 \(01\) 串变为任意的 \(256\) 位 \(01\) 串，并且这个串可能不在字典 \(S\) 中出现。Eve 非常狡猾，他不一定会对每次通信都进行干扰。
现在 Bob 找来了你帮忙，对于接下来的每次通信，你需要根据 Bob 最终收到的 \(01\) 串以及这次通信的噪音干扰阈值 \(k_i\)（\(0 \le k_i \le 15\)），判断这次通信是否有可能没有受到 Eve 的干扰（即 Bob 收到的 \(01\) 串可以由字典中的某个单词翻转至多 \(k_i\) 位后得到）。本次通信如果有可能没受到 Eve 干扰，请你输出 \(1\)，否则输出 \(0\)。Bob 很信任你的能力，所以你需要在线地回答结果，具体要求见输入格式。
为了降低读入用时， Bob 收到的串将用长度为 \(\boldsymbol{64}\) 的 \(\boldsymbol{16}\) 进制串给出，\(16\) 进制串中包含数字字符 \(\texttt{0} \sim \texttt{9}\) 与大写英文字母 \(\texttt{A} \sim \texttt{F}\)，其中字符 \(\texttt{A} \sim \texttt{F}\) 依次表示数值 \(10 \sim 15\)。
\(16\) 进制串可以逐位转化为 \(01\) 串，例如：5 对应 0101，A 对应 1010，C 对应 1100。
\(n\leq 4\times 10^5,m\leq 1.2\times 10^5,k\leq 15\)。

思路

这题和 GDOI2017 Day2 T2 简直完全不一样呢。
\(256\) 位的二进制数，而 \(k\leq 15\)。也就是说，如果两个二进制串汉明距离不超过 \(k\)，把这两个长度为 \(256\) 的串分成 \(16\) 个长度为 \(16\) 的串，至少会有一段完全相同。
而这 \(n\) 个串是可以看作完全随机的。随机 \(n\) 个长度为 \(16\) 的二进制串，与给定二进制串一致的期望个数为 \(\frac{n}{2^{16}}< 7\)。
我们把这 \(n\) 个串都分成 \(16\) 份，记 \(nxt[i][j]\) 表示上一个和串 \(i\) 的第 \(j\) 段完全相同的是哪一个串。
然后对于每一次询问，暴力枚举每一段，再枚举这一段完全相同的串尝试匹配。期望下匹配的次数是 \(6\times 16=96\) 次。每次直接 lowbit 判断两个二进制数不同的位数即可。
时间复杂度 \(O(256n+1440m)\)。这个上界特别松，并且数据随机。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;

const int N=400010;
int n,m,k,cnt,lastans,vis[N],nxt[N][16],a[N][16],b[16],last[16][1<<16];
bool s[N][256];
ull a1,a2;
char t[100];

ull myRand(ull &k1, ull &k2) {
    ull k3 = k1, k4 = k2;
    k1 = k4;
    k3 ^= (k3 << 23);
    k2 = k3 ^ k4 ^ (k3 >> 17) ^ (k4 >> 26);
    return k2 + k4;
}

void gen(int n, ull a1, ull a2) {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < 256; j++)
            s[i][j] = (myRand(a1, a2) & (1ull << 32)) ? 1 : 0;
}

void check(ull x)
{
	for (;x && cnt<=k;cnt++)
		x-=x&(x^(x-1ULL));
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%llu%llu",&a1,&a2);
	gen(n,a1,a2);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=0;j<256;j++)
			a[i][j/16]=(a[i][j/16]<<1)|s[i][j];
		for (int j=0;j<16;j++)
			nxt[i][j]=last[j][a[i][j]],last[j][a[i][j]]=i;
	}
	while (m--)
	{
		scanf("%s%d",t,&k);
		memset(b,0,sizeof(b));
		for (int i=0,x;i<64;i++)
		{
			if (isdigit(t[i])) x=t[i]-48;
				else x=t[i]-'A'+10;
			if (lastans) x^=15;
			b[i/4]=(b[i/4]<<4)|x;
		}
		cnt=114514;
		for (int i=0;i<16 && cnt>k;i++)
			for (int j=last[i][b[i]];j;j=nxt[j][i])
				if (vis[j]!=m+1)
				{
					vis[j]=m+1; cnt=0;
					for (int l=0;l<16 && cnt<=k;l++) check(a[j][l]^b[l]);
					if (cnt<=k) break;
				}
		lastans=(cnt<=k);
		putchar(lastans+48); putchar(10);
	}
	return 0;
}