【CF903G】Yet Another Maxflow Problem

题目

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/903/G
一张图分为两部分，左右都有 \(n\) 个节点，\(A_i\rightarrow A_{i+1}\) 连边，\(B_i\rightarrow B_{i+1}\) 连边，容量给出。
有 \(m\) 对 \(A_i\rightarrow B_j\) 有边，容量给出。
你需要先求出原图从 \(A_1\) 到 \(B_n\) 的最大流，然后有 \(q\) 次操作，每次操作给出 \(i\)，先修改 \(A_i\rightarrow A_{i+1}\) 的边的容量，然后询问从 \(A_1\) 到 \(B_n\) 的最大流。
\(2\leq n,m\leq 2\times 10^5\)，容量\(\ \leq 10^9\)。
\(n,m\leq 2\times 10^5\)。

思路

最大流看着就恶心，考虑求最小割。
显然对于所有 \(A_i\to A_{i+1}\) 的边，最多只会被割掉一条，否则更后面的那条根本没有必要割。\(B_i\to B_{i+1}\) 的边同理也只会割掉一条。
记 \(a_i\) 表示 \(A_i\to A_{i+1}\) 的边权，\(b_i\) 表示 \(B_i\to B_{i+1}\) 的边权，那么假设我们要割 \(A_i\to A_{i+1}\) 的边，最小割为

\[a_i+\min_{j\in [1,n)}(b_j+\sum_{k\leq i,l>j} c_{k,l}) \]

我们发现无论 \(a_i\) 怎么修改，它匹配的 \(b_j\) 都是不变的。所以我们可以先求出对于每一个 \(a_i\) 匹配哪一个 \(b_j\)。
维护一棵线段树，区间 \([l,r]\) 维护当前匹配 \(b_{l}\sim b_r\) 的最小代价。从小到大枚举 \(i\)，把所有 \(c_{i,j}\) 的贡献插入线段树，然后求全局最小值即可。对于每一次询问只需要维护一个 multiset 就行了。
注意因为 \(a\) 和 \(b\) 可能会不割，所以我们需要加入边 \(A_n\to A_{n+1}\) 和 \(B_0\to B_1\)。流量都是 \(0\)。
时间复杂度 \(O((Q+n)\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=200010;
int n,m,Q,a[N],b[N];
ll mins[N];
vector<pair<int,int> > c[N];
multiset<ll> s;

struct SegTree
{
	ll minn[N*4],lazy[N*4];
	
	void pushdown(int x)
	{
		if (lazy[x])
		{
			minn[x*2]+=lazy[x]; lazy[x*2]+=lazy[x];
			minn[x*2+1]+=lazy[x]; lazy[x*2+1]+=lazy[x];
			lazy[x]=0;
		}
	}
	
	void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,ll v)
	{
		if (ql<=l && qr>=r)
			return (void)(minn[x]+=v,lazy[x]+=v);
		pushdown(x);
		int mid=(l+r)>>1;
		if (ql<=mid) update(x*2,l,mid,ql,qr,v);
		if (qr>mid) update(x*2+1,mid+1,r,ql,qr,v);
		minn[x]=min(minn[x*2],minn[x*2+1]);
	}
}seg;

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i+1]);
		seg.update(1,1,n,i+1,i+1,b[i+1]);
	}
	for (int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		c[x].push_back(mp(y,z));
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=0;j<c[i].size();j++)
			seg.update(1,1,n,1,c[i][j].fi,c[i][j].se);
		mins[i]=seg.minn[1];
		s.insert(a[i]+mins[i]);
	}
	cout<<*s.begin()<<"\n";
	while (Q--)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		s.erase(s.find(a[x]+mins[x]));
		a[x]=y; s.insert(a[x]+mins[x]);
		cout<<*s.begin()<<"\n";
	}
	return 0;
}