【CF468C】Hack it!

题目

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/468/C
给定正整数 \(n\)，记 \(f(i)\) 表示 \(i\) 各位数字之和，求满足 \(1\leq l\leq r\leq 10^{200}\) 的数 \(l,r\)，使得

\[\left(\sum^{r}_{i=l}f(i)\right)\bmod n=0 \]

\(n\leq 10^{18}\)。

思路

对于 \(<10^{18}\) 的任意数字 \(x\)，显然有 \(f(x)+1=f(x+10^{18})\)。
我们先设 \(l=1,r=10^{18}\)，记此时 \(\left(\sum^{r}_{i=l}f(i)\right)\bmod n=x\)，那么每当我们令 \(l,r\) 同时加一，那么 \(x\) 也会随着加一。
所以我们只需要不断增加 \(l,r\)，使得 \(x=n\) 即可。
问题转化为求 \(\left(\sum^{10^{18}}_{i=1}f(i)\right)\bmod n\) 的值，先把 \(10^{18}\) 扔掉，考虑 \(1\sim 10^{18}-1\) 的每一位，不难发现对于每一位，每一个数字出现的次数恰好是 \(10^{17}\) 次。
所以 \(\sum^{10^{18}-1}_{i=1}f(i)=45\times 10^{17}\times 18=81\times 10^{18}\)。在加上 \(f(10^{18})=1\) 即可。
然后就可以轻松构造出合法的区间了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,m;

int main()
{
	scanf("%I64d",&n);
	m=n-9000000000000000000LL%n*9LL%n;
	cout<<m<<" "<<999999999999999999LL+m;
	return 0;
}