【洛谷P7599】雨林跳跃
题目
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P7599
在苏门答腊岛的热带雨林中，有 \(N\) 棵树排成一排，从左到右依次用 \(0\) 到 \(N-1\) 进行编号，其中 \(i\) 号树的高度为 \(H[i]\)，且所有树的高度互不相同。
Pak Dengklek 正在训练一只猩猩，让她能够从一棵树上跳到另一棵树上。对于一次跳跃，猩猩可以从一棵树，向左或向右跳到比当前这棵树高的第一棵树上。形式化地，如果猩猩当前在 \(x\) 号树，那么当且仅当满足下列条件之一时，她能够跳到 \(y\) 号树上：
- \(y\) 是满足 \(H[z]>H[x]\) 的所有 \(z\) 中比 \(x\) 小的最大非负整数；或者：
- \(y\) 是满足 \(H[z]>H[x]\) 的所有 \(z\) 中比 \(x\) 大的最小非负整数。
Pak Dengklek 有 \(Q\) 个跳跃计划，每个计划用四个整数 \(A\)，\(B\)，\(C\) 和 \(D\)（\(A \le B<C \le D\)）来描述。对于每个计划，Pak Dengklek 想知道猩猩是否能够从某棵树 \(s\)（\(A \le s \le B\)）出发，经过若干次跳跃，到达某棵树 \(e\)（\(C \le e \le D\)）。若该计划可行，Pak Dengklek 还想知道可行方案中猩猩需要的最少跳跃次数。
你需要实现下列函数：
void init(int N, int[] H)
- \(N\)：树的数量。
- \(H\)：大小为 \(N\) 的数组，\(H[i]\) 表示 \(i\) 号树的高度。
- 该函数在第一次
minimum_jumps的调用前，将会被调用恰好一次。
int minimum_jumps(int A, int B, int C, int D)
- \(A,B\)：可以用作起点的树的编号范围。
- \(C,D\)：可以用作终点的树的编号范围。
- 该函数需要返回可行方案中猩猩需要的最少跳跃次数，或者返回 \(-1\) 表示该计划不可行。
- 该函数将被调用恰好 \(Q\) 次。
\(n\leq 2\times 10^5;Q\leq 10^5\)。
思路
首先考虑 \(A=B,C=D\) 时怎么做。
不难发现可以从 \(A\) 到 \(C\) 的充要条件是 \([A,C)\) 中最高的树都没有 \(C\) 高。
最优方案一定是先不断往左右两边更高的跳，直到下一次跳的高度超过 \(C\) 的高度。然后不断往右跳直到 \(C\) 为止。
所以我们预处理 \(f[i][j],g[i][j],h[i][j]\) 分别表示从 \(i\) 开始跳 \(2^j\) 次，其中每次往左右更高的跳 / 往右跳 / 往左跳能跳到的位置；再维护一个 ST 表用于求区间最大值，然后就可以单次 \(O(\log n)\) 查询了。
接下来考虑 \(C=D\) 时怎么做。
我们找到 \(C\) 左边第一个高度大于 \(C\) 的位置 \(k\)。如果 $k\geq $ 则无解，否则从 \([\max(k+1,A),B]\) 开始跳一定最优。因为其他点可以跳到的，这个位置一定也可以通过不会更多的次数跳到。
最后考虑 \(100\%\) 的数据，也就是 \(A\leq B<C\leq D\)。
依然找到 \([B,C)\) 中最高点 \(p\)，然后再找 \([C,D]\) 中第一个高于 \(p\) 的位置 \(x\)；再找向左第一个高于 \(x\) 的位置 \(q\)，再找到 \([C,D]\) 中一个高于 \(q\) 的位置 \(y\)。
可以证明，最优解最后到达的一定是 \(x\) 或 \(y\)。
- 如果 \(q<A\)，那么任意 \([A,B]\) 中的点去到 \([C,D]\) 的路径上一定至少会经过 \(p\) 和 \(q\) 中的一个。如果经过的是 \(p\)，下一步直接跳到 \(x\)，否则下一步直接跳到 \(y\)。
- 如果 \(A\leq q\leq B\)，那么最优解就是从 \(q\) 直接跳到 \(y\)。
- 如果 \(q>B\)，那么 \([B,C)\) 中的最高点应该是 \(q\) 而非 \(p\)，矛盾。
所以这样可能的终点就只有 \(2\) 个，用 \(C=D\) 的方法分别求出来后取较小值即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200010,LG=18;
int n,Q,a[N],f[N][LG+1],g[N][LG+1],h[N][LG+1],mx[N][LG+1],lg[N];
stack<int> st;
void init(int N, vector<int> H)
{
n=N;
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i]=H[i-1],mx[i][0]=i;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
while (st.size() && a[st.top()]<a[i]) st.pop();
if (st.size()) h[i][0]=st.top();
st.push(i);
}
while (st.size()) st.pop();
for (int i=n;i>=1;i--)
{
while (st.size() && a[st.top()]<a[i]) st.pop();
if (st.size()) g[i][0]=st.top();
st.push(i);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
f[i][0]=(a[h[i][0]]>a[g[i][0]]) ? h[i][0] : g[i][0];
if (i>1) lg[i]=lg[i>>1]+1;
}
for (int j=1;j<=LG;j++)
for (int i=1;i<=n;i++)
{
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];
h[i][j]=h[h[i][j-1]][j-1];
if (i+(1<<j)-1<=n)
mx[i][j]=(a[mx[i][j-1]]>a[mx[i+(1<<j-1)][j-1]]) ? mx[i][j-1] : mx[i+(1<<j-1)][j-1];
}
}
int findmax(int l,int r)
{
int k=lg[r-l+1];
return (a[mx[l][k]]>a[mx[r-(1<<k)+1][k]]) ? mx[l][k] : mx[r-(1<<k)+1][k];
}
int binary(int l,int r,int x)
{
if (r<=x)
{
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (h[x][i] && h[x][i]>r) x=h[x][i];
if (h[x][0]>=l) return h[x][0];
}
else
{
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (g[x][i] && g[x][i]<l) x=g[x][i];
if (g[x][0]<=r) return g[x][0];
}
return 0;
}
int query(int l,int r,int k)
{
if (!k) return -1;
int p=h[k][0];
if (p>r) return -1;
int q=findmax(max(p+1,l),r),ans=0;
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (f[q][i] && a[f[q][i]]<=a[k])
q=f[q][i],ans+=(1<<i);
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (g[q][i] && a[g[q][i]]<=a[k])
q=g[q][i],ans+=(1<<i);
return ans;
}
int minimum_jumps(int A, int B, int C, int D)
{
A++; B++; C++; D++;
int p=findmax(B,C-1),x=binary(C,D,p);
int q=binary(1,B,x),y=binary(C,D,q);
int c1=query(A,B,x),c2=query(A,B,y);
if (c1==-1) return c2;
if (c2==-1) return c1;
return min(c1,c2);
}
/*
int main()
{
int N, Q;
assert(2 == scanf("%d %d", &N, &Q));
std::vector<int> H(N);
for (int i = 0; i < N; ++i)
assert(1 == scanf("%d", &H[i]));
init(N, H);
for (int i = 0; i < Q; ++i)
{
int A, B, C, D;
assert(4 == scanf("%d %d %d %d", &A, &B, &C, &D));
printf("%d\n", minimum_jumps(A, B, C, D));
}
return 0;
}
*/
