【CF1043F】Make It One

题目

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/1043/F
Shirley有一个数列\(\{a_i\}_{i=1} ^n\)，她可以选出这些数中的任意多个（不必连续——原文为“subset子集”），然后得到等于这些数最大公因数的分数。
现在，她想要在得到1分的前提下，使选择的数尽可能少，那么，她应该选择多少个数呢？
如果任意选择都不能得到1分，请输出-1.
\(n,a_i\leq 3\times 10^5\)。

思路

因为 \(3\times 10^5\) 内所有数字质因子数量不超过 \(6\) 个，所以答案要么上界为 \(7\)，要么为 \(-1\)。
把 \(-1\) 和 \(1\) 特判之后，我们就可以枚举答案 \(k\)，然后转化为判定性问题。
设 \(f_i\) 表示选出 \(k\) 个数时，他们的 \(\gcd=k\) 的方案数。记 \(\text{cnt}_i\) 表示 \(i\) 的倍数数量，考虑莫比乌斯反演，有

\[f_i=\sum_{i|j} \mu(\frac{j}{i})\binom{\text{cnt}_j}{k} \]

虽然这样 \(f\) 可能会很大以至于无法用 long long 存下，但是我们只关心答案为 \(k\) 是否有解，也就是只关心 \(f_1\) 是否非 \(0\)。那么直接找一个模数哈希一下即可。
时间复杂度 \(O(n\log a_i)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; 

const int N=300010,MOD=47238493;
int n,m,a[N],prm[N],mu[N],cnt[N];
ll fac[N];
bool v[N];

void findprm(int n)
{
	mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i]) prm[++m]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (n/prm[j]<i) break;
			v[i*prm[j]]=1; mu[i*prm[j]]=-mu[i];
			if (!(i%prm[j])) { mu[i*prm[j]]=0; break; }
		}
	}
}

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
		if (k&1) ans=ans*x%MOD;
	return ans;
}

int gcd(int x,int y)
{
	return y?gcd(y,x%y):x;
}

ll C(int n,int m)
{
	if (n<m) return 0LL;
	ll inv=fpow(fac[m],MOD-2)*fpow(fac[n-m],MOD-2)%MOD;
	return fac[n]*inv%MOD;
}

bool check(int k)
{
	int ans=0;
	for (int i=1;i<N;i++)
		ans=(ans+C(cnt[i],k)*mu[i])%MOD+MOD;
	return ans%MOD;
}

int main()
{
	findprm(N-1);
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<N;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	scanf("%d",&n);
	m=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		cnt[a[i]]++; m=gcd(m,a[i]);
		if (a[i]==1) return printf("1"),0;
	}
	if (m>1) return printf("-1"),0;
	for (int i=1;i<N;i++)
		for (int j=i*2;j<N;j+=i)
			cnt[i]+=cnt[j];
	for (int i=2;i<=7;i++)
		if (check(i)) return printf("%d",i),0;
	return 0;
}