【洛谷P6046】纯粹容器
题目
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6046
白王制造了 \(n\) 个容器,并将它们排成了一队,从左到右依次编号为 \(1 \sim n\)。第 \(i\) 个容器的强度为 \(a_i\),保证 \(a_i\) 互不相同。为了挑选出最纯粹的容器,白王会进行 \(n-1\) 轮操作,每轮操作中,他会等概率随机挑选两个 位置相邻 且 未被击倒的容器,令它们进行决斗,在一次决斗中,强度较小的容器将会被击倒并移出队列。
显然最后留下的是强度最大的容器,但是,可怜的容器们很想知道自己能够活多久,于是,它们请你对每个容器求出它存活轮数的期望。答案对 \(998244353\) 取模。
一个容器的存活轮数为最大的非负整数 \(x < n\) 满足它在第 \(x\) 轮未被击倒。
两个容器 \(i\) 和 \(j\) 位置相邻当且仅当不存在 \(k\) 满足 \(i<k<j\) 且 \(k\) 号容器未被击倒。
\(n\leq 50\)。
思路
设位置 \(i\) 左边第一个比它大的元素是 \(i-L\),右边第一个比它大的元素是 \(i+R\)。那么只有把 \(i-L\sim i\) 全部删掉,或者 \(i\sim i+R\) 全部删掉,\(i\) 才会被删掉。
那么元素 \(i\) 活过至少 \(j\) 轮的期望就可以看做 \(n-1\) 个点,随机选择 \(j\) 个点,没有全部选择到给定的 \(L\) 个点,且没有全部选择到给定的 \(R\) 的点的期望。
所以
\[E_i=\sum_{j=1}^{n-1}1-\frac{\binom{n-L-1}{j-L}}{\binom{n-1}{j}}-\frac{\binom{n-R-1}{j-R}}{\binom{n-1}{j}}+\frac{\binom{n-L-R-1}{j-L-R}}{\binom{n-1}{j}}
\]
时间复杂度 \(O(n^2\log p)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=55,MOD=998244353;
int n,a[N],L,R;
ll ans,C[N][N];
ll fpow(ll x,ll k)
{
ll ans=1;
for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
if (k&1) ans=ans*x%MOD;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
C[0][0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
C[i][0]=1;
for (int j=1;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
}
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
L=0; R=n+1; ans=0;
for (int j=1;j<i;j++)
if (a[j]>a[i]) L=i-j;
for (int j=n;j>i;j--)
if (a[j]>a[i]) R=j-i;
if (L==0 && R==n+1) { printf("%d ",n-1); continue; }
for (int j=1;j<n;j++)
{
ans++;
if (L>=1) ans=(ans-C[n-1-L][j-L]*fpow(C[n-1][j],MOD-2))%MOD;
if (R<=n) ans=(ans-C[n-1-R][j-R]*fpow(C[n-1][j],MOD-2))%MOD;
if (L>=1 && R<=n) ans=(ans+C[n-1-L-R][j-L-R]*fpow(C[n-1][j],MOD-2))%MOD;
}
printf("%lld ",(ans%MOD+MOD)%MOD);
}
return 0;
}