【YbtOJ#463】序列划分

题目

题目链接：https://www.ybtoj.com.cn/contest/115/problem/1

\(n\leq 10^5,m\leq 10^{12},a_i,b_i\leq 2\times 10^9\)。

思路

我们记 \(\text{nxt}_i\) 表示满足 \(a_j\geq b_i\) 的最大的 \(j\)。那么我们可以把序列分成若干段，其中第 \(i\) 段是 \([l_i,r_i]\) 且满足 \(\max^{r_i}_{j=l_i}(\text{nxt}_j)\leq r_i\)。
接下来 \(a_i,b_i\) 表示第 \(i\) 段 \(a\) 的最大值，\(b\) 的前缀和。
那么显然最终的划分一定是把若干相邻的块合并。考虑二分每一段 \(b\) 的和的最大值，然后 dp 判定是否有解。
设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 段合并后，每一段合法时 \(a\) 的最大值之和是多少。考虑加入第 \(i\) 段时：

\[f_i=\min^{i-1}_{b_i-b_j\leq \text{mid}}(f_j+\max^{i}_{k=j+1}(a_k)) \]

发现每次加入 \(i\) 后 \(\max\) 受影响的是一段后缀，然后查询也是一段区间的最小值，直接上线段树优化 dp 即可。
时间复杂度 \(O(n\log n\log a)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100010,Inf=1e18;
int n,n1,mr,nxt[N],pre[N],lft[N];
ll m,maxa,sumb,a[N],b[N],f[N],maxn[N];

struct node
{
	ll a,id;
}c[N];

bool cmp(node x,node y)
{
	return (x.a==y.a)?(x.id>y.id):(x.a>y.a);
}

void init()
{
	for (int i=n;i>=1;i--)
		maxn[i]=max(maxn[i+1],a[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int l=i+1,r=n,mid;
		while (l<=r)
		{
			mid=(l+r)>>1;
			if (maxn[mid]>=b[i]) l=mid+1;
				else r=mid-1;
		}
		nxt[i]=l-1; mr=max(mr,nxt[i]);
		maxa=max(maxa,a[i]); sumb+=b[i];
		if (mr==i)
		{
			a[++n1]=maxa; b[n1]=sumb+b[n1-1];
			maxa=sumb=0;
		}
	}
	n=n1;
}

void prework()
{
	set<int> s;
	s.insert(0); s.insert(Inf);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		c[i]=(node){a[i],i};
	sort(c+1,c+1+n,cmp);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		pre[c[i].id]=*(--s.lower_bound(c[i].id));
		s.insert(c[i].id);
	}
}

struct SegTree
{
	ll val[N*4],minn[N*4],lazy[N*4];
	
	void clr()
	{
		memset(minn,0x3f3f3f3f,sizeof(minn));
		memset(val,0x3f3f3f3f,sizeof(val));
		memset(lazy,0,sizeof(lazy));
	}
	
	void pushdown(int x,int l,int r)
	{
		if (lazy[x])
		{
			val[x*2]=val[x*2+1]=lazy[x];
			lazy[x*2]=lazy[x*2+1]=lazy[x];
			minn[x*2]=f[l-1]+val[x*2];
			minn[x*2+1]=f[r-1]+val[x*2+1];
			lazy[x]=0;
		}
	}
	
	void pushup(int x)
	{
		minn[x]=min(minn[x*2],minn[x*2+1]);
	}
	
	void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,ll v,bool typ)
	{
		if (ql>qr) return;
		if (ql<=l && qr>=r)
		{
			if (!typ)
			{
				val[x]=lazy[x]=v;
				minn[x]=f[l-1]+v;
			}
			else minn[x]=v+val[x];
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		pushdown(x,l,mid+1);
		if (ql<=mid) update(x*2,l,mid,ql,qr,v,typ);
		if (qr>mid) update(x*2+1,mid+1,r,ql,qr,v,typ);
		pushup(x);
	}
	
	ll query(int x,int l,int r,int ql,int qr)
	{
		if (ql>qr) return Inf;
		if (ql<=l && qr>=r) return minn[x];
		int mid=(l+r)>>1; ll res=Inf;
		pushdown(x,l,mid+1);
		if (ql<=mid) res=min(res,query(x*2,l,mid,ql,qr));
		if (qr>mid) res=min(res,query(x*2+1,mid+1,r,ql,qr));
		return res;
	}
}seg;

bool check(ll mid)
{
	for (int i=1,j=0;i<=n;i++)
	{
		while (b[i]-b[j]>mid) j++;
		lft[i]=j;
	}
	seg.clr();
	seg.update(1,1,n+1,1,1,0,1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		seg.update(1,1,n+1,pre[i]+1,i,a[i],0);
		f[i]=seg.query(1,1,n+1,lft[i]+1,i);
		seg.update(1,1,n+1,i+1,i+1,f[i],1);
	}
	return f[n]<=m;
}

signed main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n); scanf("%lld",&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
	init(); prework();
	ll l=1,r=2e14,mid;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if (check(mid)) r=mid-1;
			else l=mid+1;
	}
	printf("%lld\n",r+1);
	return 0;
}