【洛谷P4569】禁忌

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4569
Magic Land上的人们总是提起那个传说：他们的祖先John在那个东方岛屿帮助Koishi与其姐姐Satori最终战平。而后，Koishi恢复了读心的能力……

如今，在John已经成为传说的时代，再次造访那座岛屿的人们却发现Koishi遇到了新麻烦。

这次她遇到了Flandre Scarlet——她拥有可以使用禁忌魔法而不会受到伤害的能力。

为了说明什么是禁忌魔法及其伤害，引入以下概念：

1. 字母集\(A\)上的每个非空字符串对应了一个魔法。其中\(A\)是包含了前alphabet个小写字母的集合。
2. 有一个集合\(T\)，包含了\(N\)个字母集\(A\)上的字符串。\(T\)中的每一串称为一个禁忌串（Taboo string）
3. 一个魔法，或等价地，其对应的串\(s\)因为包含禁忌而对使用者造成的伤害按以下方式确定：把\(s\)分割成若干段，考虑其中是禁忌串的段的数目，不同的分割可能会有不同的数目，其最大值就是这个伤害。

由于拥有了读心的能力，Koishi总是随机地使用Flandre Scarlet的魔法，可以确定的是，她的魔法正好对应字母集\(A\)上所有长度为\(len\)的串。

但是，Flandre Scarlet所使用的一些魔法是带有禁忌的，由于其自身特性，她可以使用禁忌魔法而不受到伤害，而Koishi就不同了。可怜的Koishi每一次使用对方的魔法都面临着受到禁忌伤害的威胁。

你现在需要计算的是如果Koishi使用对方的每一个魔法的概率是均等的，那么每一次随机使用魔法所受到的禁忌伤害的期望值是多少。

\(n\leq 5,len\leq 10^9,|T|\leq 15\)。

思路

AC 自动机套路题。权当默写 AC 自动机吧。
直接建出 AC 自动机，然后等价于在 fail 树上随机游走。
发现游走次数 \(10^9\)，但是点只有 \(75\)，那么直接矩阵乘法优化 dp 即可。
建一个汇点，如果 AC 自动机上某一个点是某个禁忌串的结尾，那么就向汇点连边，同时再向 \(0\) 连边即可。
时间复杂度 \(O((n\sum|T|)^3\log len)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double ld;

const int N=80;
int n,m,cnt;
ld ans;
char s[N];

struct Matrix
{
	ld a[N][N];
	Matrix() { memset(a,0,sizeof(a)); }
	
	friend Matrix operator *(Matrix a,Matrix b)
	{
		Matrix c;
		for (int i=0;i<N;i++)
			for (int j=0;j<N;j++)
				for (int k=0;k<N;k++)
					c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]);
		return c;
	}
}a,f;

struct ACA
{
	int tot,fail[N],end[N],ch[N][26];
	
	void ins(char *s)
	{
		int len=strlen(s+1),p=0;
		for (int i=1;i<=len;i++)
		{
			if (!ch[p][s[i]-'a']) ch[p][s[i]-'a']=++tot;
			p=ch[p][s[i]-'a'];
		}
		end[p]++;
	}
	
	void build()
	{
		queue<int> q;
		for (int i=0;i<cnt;i++)
			if (ch[0][i]) q.push(ch[0][i]);
		while (q.size())
		{
			int u=q.front(); q.pop();
			for (int i=0;i<cnt;i++)
				if (ch[u][i])
				{
					fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
					q.push(ch[u][i]);
				}
				else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
		}
	}
}AC;

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&cnt);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",s+1);
		AC.ins(s);
	}
	AC.build();
	for (int i=0;i<=AC.tot;i++)
		for (int j=0;j<cnt;j++)
			if (!AC.end[AC.ch[i][j]])
				a.a[i][AC.ch[i][j]]+=1.0/cnt;
			else
				a.a[i][0]+=1.0/cnt,a.a[i][AC.tot+1]+=1.0/cnt;
	a.a[AC.tot+1][AC.tot+1]=1;
	f.a[1][0]=1;
	for (;m;m>>=1,a=a*a)
		if (m&1) f=f*a;
	printf("%.12Lf",f.a[1][AC.tot+1]);
	return 0;
}