【洛谷P4198】楼房重建

1|0题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4198
小 A 的楼房外有一大片施工工地，工地上有 $N$ 栋待建的楼房。每天，这片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他经常无聊地看着窗外发呆，数自己能够看到多少栋房子。
为了简化问题，我们考虑这些事件发生在一个二维平面上。小 A 在平面上 $(0,0)$ 点的位置，第 $i$ 栋楼房可以用一条连接 $(i,0)$ 和 $(i,H_i)$ 的线段表示，其中 $H_i$ 为第 $i$ 栋楼房的高度。如果这栋楼房上存在一个高度大于 $0$ 的点与 $(0,0)$ 的连线没有与之前的线段相交，那么这栋楼房就被认为是可见的。
施工队的建造总共进行了 $M$ 天。初始时，所有楼房都还没有开始建造，它们的高度均为 $0$ 。在第 $i$ 天，建筑队将会将横坐标为 $X_i$ 的房屋的高度变为 $Y_i$ （高度可以比原来大—修建，也可以比原来小—拆除，甚至可以保持不变—建筑队这天什么事也没做）。请你帮小 A 数数每天在建筑队完工之后，他能看到多少栋楼房？
$1 \le X_i \le N$ ， $1 \le Y_i \le 10^9$ ， $1\le N,M \le 10^5$ 。

2|0思路

线段树维护单调栈板子题。一个看起来也许挺高级的科技？（别 D 我 /kel
显然问题等价于从原点向所有楼房顶端连线，如果一条连线撞到了另一栋楼房，那么就不能选择这条连线。求最多选择多少条连线。
也就是根据从左往右不断选择斜率更大的。
我们在线段树每一个区间 $[l,r]$ 维护两个值：该区间单调栈的大小以及最大元素。
对于一次修改操作，我们先正常走到叶子结点进行修改，然后考虑回溯时的 pushup 操作。
最大元素直接左右子树取较大值即可。但是单调栈大小如何维护是难点。
首先这个节点左子数的单调栈内的所有元素肯定会选择，然后我们从右子树继续递归：

假设目前（还没有考虑当前节点）单调栈内最大元素是 $k$ 。
- 如果当前节点是叶子节点，直接判断斜率是否大于 $k$ ，如果是则扔进单调栈内。
- 如果当前节点不是叶子节点：
  - 如果左子树的最大值小于等于 $k$ ，那么下一个元素肯定在右子树，继续递归右子树。
  - 如果左子树的最大值严格大于 $k$ ，那么右子树之前被合并的一定继续被合并，栈大小加上 $\mathrm{cnt}_x-\mathrm{cnt}_{\mathrm{lc}_x}$ ，然后继续递归左子树。

时间复杂度 $O(n\log^2 n)$ 。

3|0代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;
int n,m;

struct SegTree
{
	double maxk[N*4];
	int cnt[N*4];
	
	int query(int x,int l,int r,double k)
	{
		if (l==r)
		{
			if (maxk[x]>k) return 1;
			return 0;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if (maxk[x*2]<=k)
			return query(x*2+1,mid+1,r,k);
		else
			return query(x*2,l,mid,k)+cnt[x]-cnt[x*2];
	}
	
	void pushup(int x,int l,int r)
	{
		maxk[x]=max(maxk[x*2],maxk[x*2+1]);
		cnt[x]=query(x*2+1,(l+r)/2+1,r,maxk[x*2])+cnt[x*2];
	}
	
	void update(int x,int l,int r,int k,int v)
	{
		if (l==r)
		{
			maxk[x]=1.0*v/l; cnt[x]=1;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if (k<=mid) update(x*2,l,mid,k,v);
			else update(x*2+1,mid+1,r,k,v);
		pushup(x,l,r);
	}
}seg;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while (m--)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		seg.update(1,1,n,x,y);
		printf("%d\n",seg.cnt[1]);
	}
	return 0;
}

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本文作者：stoorz
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