【洛谷P4198】楼房重建
题目
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4198
小 A 的楼房外有一大片施工工地,工地上有 \(N\) 栋待建的楼房。每天,这片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他经常无聊地看着窗外发呆,数自己能够看到多少栋房子。
为了简化问题,我们考虑这些事件发生在一个二维平面上。小 A 在平面上 \((0,0)\) 点的位置,第 \(i\) 栋楼房可以用一条连接 \((i,0)\) 和 \((i,H_i)\) 的线段表示,其中 \(H_i\) 为第 \(i\) 栋楼房的高度。如果这栋楼房上存在一个高度大于 \(0\) 的点与 \((0,0)\) 的连线没有与之前的线段相交,那么这栋楼房就被认为是可见的。
施工队的建造总共进行了 \(M\) 天。初始时,所有楼房都还没有开始建造,它们的高度均为 \(0\)。在第 \(i\) 天,建筑队将会将横坐标为 \(X_i\) 的房屋的高度变为 \(Y_i\)(高度可以比原来大—修建,也可以比原来小—拆除,甚至可以保持不变—建筑队这天什么事也没做)。请你帮小 A 数数每天在建筑队完工之后,他能看到多少栋楼房?
\(1 \le X_i \le N\),\(1 \le Y_i \le 10^9\),\(1\le N,M \le 10^5\)。
思路
线段树维护单调栈板子题。一个看起来也许挺高级的科技?(别 D 我 /kel
显然问题等价于从原点向所有楼房顶端连线,如果一条连线撞到了另一栋楼房,那么就不能选择这条连线。求最多选择多少条连线。
也就是根据从左往右不断选择斜率更大的。
我们在线段树每一个区间 \([l,r]\) 维护两个值:该区间单调栈的大小以及最大元素。
对于一次修改操作,我们先正常走到叶子结点进行修改,然后考虑回溯时的 pushup 操作。
最大元素直接左右子树取较大值即可。但是单调栈大小如何维护是难点。
首先这个节点左子数的单调栈内的所有元素肯定会选择,然后我们从右子树继续递归:
- 假设目前(还没有考虑当前节点)单调栈内最大元素是 \(k\)。
- 如果当前节点是叶子节点,直接判断斜率是否大于 \(k\),如果是则扔进单调栈内。
- 如果当前节点不是叶子节点:
- 如果左子树的最大值小于等于 \(k\),那么下一个元素肯定在右子树,继续递归右子树。
- 如果左子树的最大值严格大于 \(k\),那么右子树之前被合并的一定继续被合并,栈大小加上 \(\mathrm{cnt}_x-\mathrm{cnt}_{\mathrm{lc}_x}\),然后继续递归左子树。
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
struct SegTree
{
double maxk[N*4];
int cnt[N*4];
int query(int x,int l,int r,double k)
{
if (l==r)
{
if (maxk[x]>k) return 1;
return 0;
}
int mid=(l+r)>>1;
if (maxk[x*2]<=k)
return query(x*2+1,mid+1,r,k);
else
return query(x*2,l,mid,k)+cnt[x]-cnt[x*2];
}
void pushup(int x,int l,int r)
{
maxk[x]=max(maxk[x*2],maxk[x*2+1]);
cnt[x]=query(x*2+1,(l+r)/2+1,r,maxk[x*2])+cnt[x*2];
}
void update(int x,int l,int r,int k,int v)
{
if (l==r)
{
maxk[x]=1.0*v/l; cnt[x]=1;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if (k<=mid) update(x*2,l,mid,k,v);
else update(x*2+1,mid+1,r,k,v);
pushup(x,l,r);
}
}seg;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
while (m--)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
seg.update(1,1,n,x,y);
printf("%d\n",seg.cnt[1]);
}
return 0;
}