【洛谷P6499】Burza

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P6499
Daniel 和 Stjepan 在一棵含有 \(n\) 个节点的树上做游戏，树上各节点的编号为 \(1,2,\dots,n\)。游戏开始时，\(1\) 号节点上有一枚硬币。
游戏规则如下：

1. Daniel 选择一个节点，将其标记。
2. Stjepan 标记当前硬币所在的节点。
3. Stjepan 将硬币移至一个尚未标记且与当前所在的节点相邻的节点。

重复以上操作。当 Stjepan 无法移动硬币时，游戏结束。
Daniel 想知道是否存在某种既定的操作策略，使得无论 Stjepan 如何操作，都能在 \(k\) 轮操作内结束游戏。即 Stjepan 能移动硬币的次数小于 \(k\)。

思路

可以发现后手操作 \(i\) 次之后一定在深度为 \(i+1\) 的节点处。所以我们可以直接忽略深度超过 \(k\) 的节点。并且第 \(i\) 次操作先手一定会选择深度为 \(i+1\) 的点，因为如果深度小于 \(i+1\)，后手已经走过这一层了；如果大于 \(i+1\)，不如选择它的父亲更优。
如果 \(k^2>n\)，那么 Daniel 必胜。因为最坏情况下一定是若干条长度为 \(k\) 的链，链顶端均与 \(1\) 相连。就算这样，它链的数量是 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\)，当 \(k>\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\) 即 \(k^2>n\) 时一定先手必胜。
所以我们只需要解决 \(k<\sqrt{n}\) 时的问题。由于先手每一个深度只会选择一次，所以我们可以设 \(f[i][s]\) 表示 dfs 序在 \(i\sim n\) 的节点都被选择时，我们选择深度的集合为 \(s\) 是否可行。
如果选择节点 \(i\)，那么有转移

\[f[i][s]\gets f[i+\mathrm{size}_{\mathrm{rk}_i}][s\ \mathrm{xor}\ \mathrm{dep}_{\mathrm{rk}_i}] \]

如果不选择节点 \(i\)，只需要把 \(i\) 子树内深度为 \(k\) 的节点删掉就可以了。所以如果 \(\mathrm{dep}_i\leq k\)，

\[f[i][s]\gets f[i+1][s] \]

最后判断一下 \(f[1][i]\) 的或和是否为 \(1\) 即可。
时间复杂度 \(O(2^{\sqrt{n}}n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=405,M=(1<<19);
int n,m,tot,lim,ans,head[N],dep[N],siz[N],dfn[N],rk[N];
bool f[N][M];

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to};
	head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fa)
{
	dep[x]=dep[fa]+1;
	if (dep[x]>m+1) return;
	dfn[x]=++tot; rk[tot]=x; siz[x]=1;
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			dfs(v,x);
			siz[x]+=siz[v];
		}
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if (m*m>n) return printf("DA"),0;
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	tot=0; dfs(1,0);
	f[n+1][0]=1; lim=(1<<m+1);
	for (int i=n;i>=2;i--)
		for (int s=0;s<lim;s++)
		{
			int j=rk[i];
			if (s&(1<<dep[j]-1))
				f[i][s]|=f[i+siz[j]][s^(1<<dep[j]-1)];
			if (dep[j]<=m)
				f[i][s]|=f[i+1][s];
		}
	for (int i=0;i<lim;i++)
		ans|=f[2][i];
	if (ans) printf("DA");
		else printf("NE");
	return 0;
}