【洛谷P2387】魔法森林
题目
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2387
为了得到书法大家的真传，小 E 同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含 \(n\) 个节点 \(m\) 条边的无向图，节点标号为 \(1,2,3,…,n\)，边标号为 \(1,2,3,…,m\)。初始时小 E 同学在 \(1\) 号节点，隐士则住在 \(n\) 号节点。小 E 需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。
魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪 就会对其发起攻击。幸运的是，在 \(1\) 号节点住着两种守护精灵：A 型守护精灵与 B 型守护精灵。小 E 可以借助它们的力量，达到自己的目的。
只要小 E 带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边 \(e_i\) 包含两个权值 \(a_i\) 与 \(b_i\) 。若身上携带的 A 型守护精灵个数不少于 \(a_i\) ，且 B 型守护精灵个数不少于 \(b_i\) ，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向 小 E 发起攻击，他才能成功找到隐士。
由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小 E 想要知道，要能够成功拜访到 隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为 A 型守护精灵的个数与 B 型守护精灵的个数之和。
思路
将边按照 \(a\) 排序，从小到大枚举 \(a\)，将对应的边的当做一个点扔进 LCT 内，在 LCT 上连接其在原图中所连接的两个点。
显然随着 \(a\) 的增加，最优路径上 \(b\) 的最大值一定是逐渐减小的，所以我们需要用 LCT 维护 \(b\) 的最小生成树。
具体的，当我们要加入边 \(i\) 时，如果 \(i\) 所连接的两个点在 LCT 上已经属于同一棵 Splay 了，那么我们就把 \(u\) 和 \(v\) 的链单独拉出来形成一棵 Splay，然后查询 Splay 上 \(b\) 权的最大值所对应的边。然后判断是当前加入的边的边权更小还是原边更小，如果当前边更小则 Cut 原边，Link 新的边即可。
每次操作后将 \(1,n\) 所对应的链拉出来，更新答案即可。
时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=150010,Inf=1e9;
int n,m,ans;
struct edge
{
int u,v,a,b;
}e[N];
bool cmp(edge x,edge y)
{
return x.a<y.a;
}
struct LCT
{
int maxb[N],val[N],ch[N][2],fa[N];
bool rev[N];
void pushdown(int x)
{
if (rev[x])
{
int lc=ch[x][0],rc=ch[x][1];
swap(ch[lc][0],ch[lc][1]);
swap(ch[rc][0],ch[rc][1]);
rev[lc]^=1; rev[rc]^=1; rev[x]=0;
}
}
void pushup(int x)
{
int lc=maxb[ch[x][0]],rc=maxb[ch[x][1]],k=val[x];
if (e[k].b>=e[lc].b && e[k].b>=e[rc].b) maxb[x]=k;
if (e[lc].b>=e[k].b && e[lc].b>=e[rc].b) maxb[x]=lc;
if (e[rc].b>=e[k].b && e[rc].b>=e[lc].b) maxb[x]=rc;
}
int pos(int x)
{
return ch[fa[x]][1]==x;
}
int notrt(int x)
{
return ch[fa[x]][1]==x || ch[fa[x]][0]==x;
}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],k=pos(x),c=ch[x][k^1];
if (notrt(y)) ch[z][pos(y)]=x; ch[x][k^1]=y; ch[y][k]=c;
if (c) fa[c]=y; fa[y]=x; fa[x]=z;
pushup(y); pushup(x);
}
void splay(int x)
{
stack<int> st;
st.push(x);
for (int y=x;notrt(y);y=fa[y]) st.push(fa[y]);
for (;st.size();st.pop()) pushdown(st.top());
while (notrt(x))
{
if (notrt(fa[x]))
rotate(pos(x)==pos(fa[x])?fa[x]:x);
rotate(x);
}
pushup(x);
}
void access(int x)
{
for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
{
splay(x); ch[x][1]=y;
pushup(x);
}
}
int findrt(int x)
{
access(x); splay(x);
for (;ch[x][0];x=ch[x][0])
pushdown(x);
splay(x);
return x;
}
void makert(int x)
{
access(x); splay(x);
swap(ch[x][0],ch[x][1]); rev[x]^=1;
}
void split(int x,int y)
{
makert(x); access(y);
splay(y);
}
void link(int x,int y)
{
makert(x);
if (findrt(y)!=x) fa[x]=y;
splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
makert(x);
if (findrt(y)!=x) return;
splay(x);
if (!ch[y][0] && fa[y]==x)
fa[y]=ch[x][1]=0;
pushup(x);
}
}lct;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].a,&e[i].b);
sort(e+1,e+1+m,cmp);
ans=Inf;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int u=e[i].u,v=e[i].v;
if (lct.findrt(u)!=lct.findrt(v))
{
lct.link(u,n+i); lct.link(v,n+i);
lct.val[n+i]=lct.maxb[n+i]=i;
}
else
{
lct.split(u,v);
int id=lct.maxb[v];
if (e[id].b>e[i].b)
{
lct.cut(id+n,e[id].u); lct.cut(id+n,e[id].v);
lct.link(n+i,u); lct.link(n+i,v);
lct.val[n+i]=lct.maxb[n+i]=i;
}
}
if (lct.findrt(1)==lct.findrt(n))
{
lct.split(1,n);
ans=min(ans,e[lct.maxb[n]].b+e[i].a);
}
}
if (ans<Inf) printf("%d",ans);
else printf("-1");
return 0;
}
