【洛谷P3690】【模板】Link Cut Tree （动态树）

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3690
给定 \(n\) 个点以及每个点的权值，要你处理接下来的 \(m\) 个操作。
操作有四种，操作从 \(0\) 到 \(3\) 编号。点从 \(1\) 到 \(n\) 编号。

• 0 x y 代表询问从 \(x\) 到 \(y\) 的路径上的点的权值的 \(\text{xor}\) 和。保证 \(x\) 到 \(y\) 是联通的。
• 1 x y 代表连接 \(x\) 到 \(y\)，若 \(x\) 到 \(y\) 已经联通则无需连接。
• 2 x y 代表删除边 \((x,y)\)，不保证边 \((x,y)\) 存在。
• 3 x y 代表将点 \(x\) 上的权值变成 \(y\)。

思路

LCT 维护了若干棵 Splay，每一棵 Splay 维护的是树上深度连续递增的一条链，且中序遍历为这条链深度从浅到深的节点。
与重剖和长剖不同，LCT 树剖采用的是实链剖分，也就是每一个点与其儿子中，最多有一条是实边，这条实边所连接的儿子与该点位于同一棵 Splay 中。其他儿子都不与该点位于同一棵 Splay。这样就保证了每一棵 Splay 对应原树中的一条链。
虽然虚边不需要在同一个 Splay 中，但是虚边所对应的儿子的 \(fa\) 数组依然指向其父亲，也就是认父不认子。
LCT 最关键的两个操作是 access 和 split，分别是打通一个点到树根的链，扔进一棵 Splay 里；和打通两个点所在链。
对于 access 操作，我们直接不断将 \(x\) splay 到其所在 Splay 的根，然后判断如果依然有父节点，说明上面是一条虚边而不是到达了树根，那么就打通这条虚边，将原来的实边变为虚边，然后继续操作直到树根。
对于 split 操作，我们先把 \(x\) access 到树根，然后将 \(y\) splay 到其 Splay 的根，如果 \(y\) 与 \(x\) 并不在同一棵 Splay 中，那么就令 \(fa_y=x\)。
Link-Cut Tree 自然支持 Link 和 Cut，也就是连边和删边，利用各种辅助操作即可完成。
当然 LCT 还有很多辅助操作如 findrt,makert,notrt 等，以及 Splay 的基本操作 rotate,splay。在此不一一细说。可以看 Blog。
时间复杂度 \(O(m\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;
int n,m;

struct LCT
{
	int val[N],ch[N][2],fa[N],xors[N];
	bool rev[N];
	
	void pushup(int x)
	{
		xors[x]=xors[ch[x][0]]^xors[ch[x][1]]^val[x];
	}
	
	void pushdown(int x)
	{
		if (rev[x])
		{
			int c=ch[x][0]; swap(ch[c][0],ch[c][1]);
			c=ch[x][1]; swap(ch[c][0],ch[c][1]);
			rev[ch[x][0]]^=1; rev[ch[x][1]]^=1; rev[x]=0;
		}
	}
	
	bool notrt(int x)
	{
		return (ch[fa[x]][0]==x) || (ch[fa[x]][1]==x);
	}
	
	int pos(int x)
	{
		return ch[fa[x]][1]==x;
	}
	
	void rotate(int x)
	{
		int y=fa[x],z=fa[y],k=pos(x),c=ch[x][k^1];
		if (notrt(y)) ch[z][pos(y)]=x; ch[x][k^1]=y; ch[y][k]=c;
		if (c) fa[c]=y; fa[y]=x; fa[x]=z;
		pushup(y); pushup(x);
	}
	
	void splay(int x)
	{
		stack<int> st;
		st.push(x);
		for (int y=x;notrt(y);y=fa[y]) st.push(fa[y]);
		for (;st.size();st.pop()) pushdown(st.top());
		while (notrt(x))
		{
			if (notrt(fa[x]))
				rotate(pos(x)==pos(fa[x])?fa[x]:x);
			rotate(x);
		}
		pushup(x);
	}
	
	void access(int x)
	{
		for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		{
			splay(x); ch[x][1]=y;
			pushup(x);
		}
	}
	
	int findrt(int x)
	{
		access(x); splay(x);
		for (;ch[x][0];x=ch[x][0])
			pushdown(x);
		splay(x);
		return x;
	}
	
	void makert(int x)
	{
		access(x); splay(x);
		rev[x]^=1; swap(ch[x][0],ch[x][1]);
	}
	
	void split(int x,int y)
	{
		makert(x);
		access(y);
		splay(y);
	}
	
	void link(int x,int y)
	{
		makert(x);
		if (findrt(y)!=x) fa[x]=y;
		access(x);
	}
	
	void cut(int x,int y)
	{
		makert(x);
		if (findrt(y)!=x) return;
		splay(x);
		if (fa[y]==x && !ch[y][0])
			fa[y]=ch[x][1]=0;
		pushup(x);
	}
	
	int query(int x,int y)
	{
		split(x,y);
		return xors[y];
	}
}lct;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&lct.val[i]);
	while (m--)
	{
		int opt,x,y;
		scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
		if (opt==0) printf("%d\n",lct.query(x,y));
		if (opt==1) lct.link(x,y);
		if (opt==2) lct.cut(x,y);
		if (opt==3) lct.splay(x),lct.val[x]=y;
	}
	return 0;
}