【洛谷P2056】捉迷藏
题目
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2056
Jiajia 和 Wind 是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind 和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。他们的家很大且构造很奇特，由 \(N\) 个屋子和 \(N-1\) 条双向走廊组成，这 \(N-1\) 条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia 负责找，而 Wind 负责操纵这 \(N\) 个屋子的灯。在起初的时候，所有的灯都没有被打开。每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia 希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。
我们将以如下形式定义每一种操作：
- C(hange) i 改变第 \(i\) 个房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
- G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。
\(n\leq 10^5,m\leq 5\times 10^5\)。
思路
建出点分树，对于点分树上每一个点，维护两个堆 \(q1,q2\)。其中 \(q1\) 放点分树上在这个点 \(x\) 为根的子树中，所有点到点分树上 \(x\) 父亲的距离。\(q2\) 放点 \(x\) 所有子树的堆的最大值。
那么显然答案就是每一个点的 \(q2\) 的最大值和次大值之和的最大值。所以我们再开一个堆存所有点答案的最大值。
对于一次修改操作，我们从 \(x\) 往上跳父亲，更新它与父亲的堆即可。
对于查询操作，就直接输出答案堆的堆顶。注意只有一个关灯房间和没有关灯房间需要特判。
但是普通的堆是不支持删除的，所以我们再开三个堆分别对应前文三个堆，如果要在某一个堆中删除，那么就在其对应的堆中插入，需要时不断判断两个堆顶是不是相同即可。
时间复杂度 \(O(m\log^2 n)\)。
代码
常数不是很优秀，开了 O2 才过。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,LG=18,Inf=1e9;
int n,m,rt,tot,cnt,head[N],fa[N],dep[N],maxp[N],size[N],f[N][LG+1];
bool vis[N];
char ch[3];
priority_queue<int> q1[N],q2[N],d1[N],d2[N],qans,dans;
struct edge
{
int next,to;
}e[N*2];
void add(int from,int to)
{
e[++tot]=(edge){head[from],to};
head[from]=tot;
}
void dfs1(int x,int _fa)
{
f[x][0]=_fa; dep[x]=dep[_fa]+1;
for (int i=1;i<=LG;i++)
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (v!=_fa) dfs1(v,x);
}
}
void findrt(int x,int _fa,int sum)
{
size[x]=1; maxp[x]=0;
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (!vis[v] && v!=_fa)
{
findrt(v,x,sum);
size[x]+=size[v];
if (size[v]>maxp[x]) maxp[x]=size[v];
}
}
if (sum-size[x]>maxp[x]) maxp[x]=sum-size[x];
if (maxp[x]<maxp[rt]) rt=x;
}
void dfs2(int x,int _fa,int sum)
{
vis[x]=1; fa[x]=_fa;
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (!vis[v])
{
int s=(size[v]<size[x])?size[v]:sum-size[x];
rt=0;
findrt(v,0,s); dfs2(rt,x,s);
}
}
}
int lca(int x,int y)
{
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
if (x==y) return x;
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
void updans(int x,bool flag)
{
if (!q2[x].size()) return;
int tmp=q2[x].top(); q2[x].pop();
while (q2[x].size() && d2[x].size() && q2[x].top()==d2[x].top())
q2[x].pop(),d2[x].pop();
if (!flag && q2[x].size()) qans.push(q2[x].top()+tmp);
if (flag && q2[x].size()) dans.push(q2[x].top()+tmp);
q2[x].push(tmp);
}
void update(int x,bool flag)
{
updans(x,1);
if (flag) d2[x].push(0);
else q2[x].push(0);
while (q2[x].size() && d2[x].size() && q2[x].top()==d2[x].top())
q2[x].pop(),d2[x].pop();
updans(x,0);
for (int i=x;fa[i];i=fa[i])
{
int dis=dep[x]+dep[fa[i]]-2*dep[lca(x,fa[i])];
updans(fa[i],1);
if (q1[i].size()) d2[fa[i]].push(q1[i].top());
if (flag) d1[i].push(dis);
else q1[i].push(dis);
while (q1[i].size() && d1[i].size() && q1[i].top()==d1[i].top())
q1[i].pop(),d1[i].pop();
if (q1[i].size()) q2[fa[i]].push(q1[i].top());
while (q2[fa[i]].size() && d2[fa[i]].size() && q2[fa[i]].top()==d2[fa[i]].top())
q2[fa[i]].pop(),d2[fa[i]].pop();
updans(fa[i],0);
}
while (qans.size() && dans.size() && qans.top()==dans.top())
qans.pop(),dans.pop();
}
int main()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d",&n);
for (int i=1,x,y;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y); add(y,x);
}
rt=0; maxp[0]=Inf;
dfs1(1,0);
findrt(1,0,n); dfs2(rt,0,n);
memset(vis,0,sizeof(vis));
for (int i=1;i<=n;i++)
update(i,0);
cnt=n;
scanf("%d",&m);
while (m--)
{
scanf("%s",ch);
if (ch[0]=='G')
{
if (!cnt) printf("-1\n");
else if (cnt==1) printf("0\n");
else printf("%d\n",qans.top());
}
else
{
int x;
scanf("%d",&x);
vis[x]^=1;
update(x,vis[x]);
if (vis[x]==1) cnt--;
else cnt++;
}
}
return 0;
}
