【洛谷P4301】新Nim游戏

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4301
传统的 Nim 游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和 Nim 游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

思路

傻子题。
假设先手取完后，剩余石子堆中存在若干堆异或和为 \(0\)，显然后手必胜。所以我们需要把所有可以异或变成 \(0\) 的石子堆都取掉。
假设没有第一回合拿的石子最少的限制，那么直接把数字依次插入线性基，如果这个数字无法插入进去就加入答案。
但是此时要求拿的尽量少，那就排个序就好了。
时间复杂度 \(O(n\log A)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=110,LG=30;
int n,d[N],a[N];
ll ans;

void insert(int x)
{
	int tmp=x;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (x&(1<<i))
		{
			if (!d[i]) { d[i]=x; return; }
			x^=d[i];
		}
	ans+=tmp;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+1+n);
	for (int i=n;i>=1;i--)
		insert(a[i]);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}