【BZOJ4176】Lucas的数论

题目

题目链接：https://darkbzoj.tk/problem/4176
定义 \(f(x)\) 表示 \(x\) 的约数个数，给出 \(n\)，求

\[\left(\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}f(ij)\right)\bmod 1000000007 \]

\(n\leq 10^9\)。

思路

有 \(f(ij)=\sum^{n}_{y|j}\sum^{}_{x|i}[\gcd(x,y)=1]\)，所以

\[=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}f(ij) \]

\[=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1] \]

\[=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d) \]

套路性把 \(\mu(d)\) 扔到前面，

\[=\sum^{n}_{d=1}\mu(d)\sum_{d|x}\sum^{}_{d|y}\sum_{x|i}\sum_{y|j}1 \]

\[=\sum^{n}_{d=1}\mu(d)(\sum_{d|i}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)^2 \]

\[=\sum^{n}_{d=1}\mu(d)(\sum^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}_{i=1}\lfloor\frac{n}{di}\rfloor)^2 \]

后面的一堆是可以整除分块的，然后前面就杜教筛筛 \(\mu\) 的前缀和即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N=1e7,MOD=1000000007;
int n,m,ans,mu[N],prm[N];
bool v[N];
map<int,int> smu;

void findprm(int n)
{
	mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i]) prm[++m]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (i>n/prm[j]) break;
			v[i*prm[j]]=1; mu[i*prm[j]]=-mu[i];
			if (i%prm[j]==0)
			{
				mu[i*prm[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
}

int calc(int n)
{
	int res=0;
	for (int l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		res=(res+1LL*n/l*(r-l+1))%MOD;
	}
	return 1LL*res*res%MOD;
}

int summu(int n)
{
	if (n<N) return mu[n];
	if (smu[n]) return smu[n];
	int res=1;
	for (int l=2,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		res=(res-1LL*summu(n/l)*(r-l+1))%MOD;
	}
	return smu[n]=res;
}

signed main()
{
	findprm(N-1);
	for (int i=1;i<N;i++)
		mu[i]+=mu[i-1];
	scanf("%lld",&n);
	for (int l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		ans=(ans+1LL*(summu(r)-summu(l-1))*calc(n/l));
	}
	printf("%lld",(ans%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}